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sous espaces supplementaires, bases d un espace vectoriel, rang



  1. #1
    rouday_s

    sous espaces supplementaires, bases d un espace vectoriel, rang

    Bonsoir a tous!
    j'ai un DM a faire pour la fin de semaine et j'aimerais avoir un peu d'aide s il vous plait. A la fin de l'énoncé il y a un exercice que je ne comprends
    Soit n>=1 un entier. Soit E un espace vectoriel de dimension n. Soit f un endomorphisme de E. Montrer que : rg(f^n) = rg(f^n+1)
    CA je ne sais pas comment faire. On a vu dans le cours les matrices de passages les sous espaces supplémentaires et le déterminant mais la je ne vois pas quoi faire
    Merci pour vos réponses

    -----


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  3. #2
    Ledescat

    Re : sous espaces supplementaires, bases d un espace vectoriel, rang

    Salut.

    Quelles sont les conditions sur f ?

    Car ce résultat est faux en général (en considérant par exemple f nilpotente d'indice 2).
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    rouday_s

    Re : sous espaces supplementaires, bases d un espace vectoriel, rang

    l"énoncé n'indique rien de plus

  5. #4
    Ledescat

    Re : sous espaces supplementaires, bases d un espace vectoriel, rang

    Au temps pour moi, avec n=dimE c'est vrai.
    Je pensais à un cas général avec k et k+1.

    Regarde du côté du théorème du rang, il faut un peu bidouiller (sans oublier que rg(f^k) ne peut dépasser n).
    Cogito ergo sum.

  6. #5
    rouday_s

    Re : sous espaces supplementaires, bases d un espace vectoriel, rang

    je comprends pas. Si par exemple on prend la matrice
    A= ( 010
    001
    000 )
    on a A²= (001
    000
    000)
    et dans ce cas la relation est fausse. Peux tu m expliquer comment proceder? s il te plait?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ledescat

    Re : sous espaces supplementaires, bases d un espace vectoriel, rang

    Oui mais ici n=3, donc il faut comparer rg(A^3) et rg(A^4).
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    Taar

    Re : sous espaces supplementaires, bases d un espace vectoriel, rang

    Salut.

    Souvent, cette question est précédée de celle-ci (ou d'une autre du même acabit) :
     Cliquez pour afficher

    et parfois aussi de celle-ci :
     Cliquez pour afficher

    Tout dépend du niveau d'obfuscation décrété par ton prof.
    Taar.

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