fonction max est lipchitzienne

[invite7f2e52b3]

Bonjour à tous,
j'ai une petite problème avec la fonction max comment la montrer qu'elle lipschitzienne c'est à dire
|max(A,-C,0)-max(B,-D,0)|<= constante * (|A-B|+|C-D|)

Merci d'avance
-----

[Tiky]

Bonjour,

Je suppose que c'est sur et que tu veux montrer qu'elle est lipschitzienne pour les normes.
On peut montrer sauf erreur que la fonction de max de dans est 1-lipschitzienne pour la norme 1. C'est-à-dire :
où

Et comme toutes les normes d'un espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes le résultat en découle.
Pour cela il suffit de distinguer tous les cas possibles.

[invite7f2e52b3]

Bonjour,
Merci pour votre réponse,

C'est de

\mathbb{R}² DANS \mathbb{R}

,
J'ai essayé avec tous les cas possibles par exemple si x>y et z>t c'est facile
et aussi si y>x et t>z c'est facile aussi
mais je n'arrive pas à le faire dans les autres cas si x>y et t>z alors
|max(x,y)-max(z,t)|<= |x-z|+|z-y|+|y-t|
comment je vais me dé-paresser du terme |z-y| ?

Merci d'avance

[Tiky]

Si tu as x > y et z < t, alors il faut distinguer en deux cas.
Soit . Alors
Soit , Alors

Tu avais donc à traiter 6 cas différents mais avec la symétrie du problème, ça n'en fait que 3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7f2e52b3]

Merci pour votre réponse

juste j'ai une question normalement avec le zéro ça ne pose pas problème c'est à dire comme j'ai écris au début
|max(x,y,0) - max (z,t,0)| <= (|x-z|+|y-t|)

ma dernière question, pour montrer la fonction min lipschitzienne , je fais le même raisonnement que la fonction max normalement ??

Merci d'avance

[Tiky]

Pourquoi mettre un argument s'il est constant.
Pour le min, il suffit de remarquer que :. Donc le min est aussi 1-lipschitzien pour la norme 1.

Une autre manière de démontrer que le max est lipschitzien consiste à utiliser la formule explicite :

[Tiky]

Je voulais écrire

[invite7f2e52b3]

Merci beaucoup

pour mon problème le x , y , t et z sont des fonctions de lR² dans lR et dans mon problème il veux avoir |max(x,y,0)-max(z,t,0)| <= constante * (|x-z|+|y-t|)
j'ai essayé en traitant tout les cas possibles et c'est bon ))
merci

[Tiky]

La seconde démonstration est quand même beaucoup plus courte.


Je ne vois toujours pas l'intérêt de mettre un 0. C'est juste une question de notation.

[invite7f2e52b3]

oui vous avez raison concernant le 0
je peux juste faire A=max(x,y) et B=max(z,t) et max(x,y,0)=max(A,0)
|max(A,0)-max(B,0)|=(1/2)|A +|A|-B-|B| |<= (1/2) [|A-B|+| |A|-|B| |]
=|A-B|
et Après juste je refais le raisonnement que vous avez fait dernièrement
merci pour votre aide