équivalent à l'infini[PC*]

[invitef5c135d7]

bonjour à tous, je sais que le forum n'est pas fait pour résoudre les problémes de dm, mais j'ai une question et je n'arrive pas à venir à bout!
j'ai une fonction phi(t)=(t+1/2)ln(1+1/t) définie sur I=[1;+infini[
j'ai montré dans les questions précédentes que :
-phi tend vers 1 en +infini
- (phi)' tend vers 0 à l'infini
-pour t dans I, (phi)'(t) est négatif ou nul
- pour t dans I, phi(t) supérieur ou égal à 1
je dois maintenant trouver un équivalent de phi(t)-1 sous la forme a/(t^b) au voisinage de +infini
j'ai essayé en posant h=1/t, mais ça ne marche pas
je ne vois pas comment faire, je pense que ce n'est pas très compliqué mais je ne vois pas l'astuce!
si quelqu'un pouvait m'éclairer, ça m'aiderait beaucoup!
merci
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[invitef5c135d7]

personne ne peut m'aider??

[invite578a92be]

pourquoi ca ne marche pas en posant h=1/t ???

essaye en recommançant le DL, perso je trouve que c'est équivalent à 1/(3t²) mais c'est à vérifier

[invite9822beb9]

Tu peux effectuer un DL de
En le multipliant par tu trouves un équivalent de en auquel il reste à retirer 1... tu trouves une expression du type

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite578a92be]

il te manque juste le terme de degré 3 du DL de ln

[invite9822beb9]

D'après moi, degré deux suffisant...

[invite578a92be]

je disais ça parce que tu avais mis un o(1/t^3) sans le terme de degré 3 avant

d'ailleurs je ne suis pas sur que le degré deux soit suffisant ca le t devant fait tomber un ordre, il faut donc pousser le DL de ln au degré 3 si tu veux un équivalent final en a/t² non?

[invite9822beb9]

d'où

[invite578a92be]

euh mets les petits o et tu verras que c'est peut être pas si simple que ça, en faisant ça tu oublies un terme de degré 2 :

(t+1/2)*ln(1+1/t) = (t+1/2)*(1/t-1/(2t²)+1/(3t^3)+o(1/t^3)) = 1 - 1/(2t) + 1/(3t²) + o(1/t²) + (1/(2t) - 1/(4t²) + 1/(6t^3) + o(1/t^3)) = 1-1/(12t²)+o(1/t²)

donc l'équivalent serait -1/(12t²)

[invite9822beb9]

Très juste... Autant pour moi !

[invitef5c135d7]

merci bien à vous deux!!