analyse fonctionnelle

[invite66bc83d2]

bonjour,
j'ai un problème avec la démonstration d'un théorème. on pose et une suite de mesures de probas boréliennes sur [-1,1] convergent vers et on déduit de la continuité de A en que
quel théoème est utilisé?est ce que qqn peut m'aider svp?
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[invitea07f6506]

Bonjour,

Si on fixe dans , la fonction est continue sur [-1, 1]. Comme la suite de mesures converge (fortement ou faiblement, cela n'a pas d'importance ici) vers , la suite converge vers . Cela vient directement de la définition de la convergence faible des mesures.

Si est dans ou , la démonstration ne tient plus, et on peut trouver des contre-exemples. Par exemple, pour , on peut se donner une mesure de probabilité sur telle que
. Posons alors . On a :



et :

[invite66bc83d2]

merci beaucoup! mais j'ai une deuxième question. Il est aussi écrit que l'espace des mesures boréliennes de probas définies sur [-1,1] est un compact pour la topologie faible* si on le considere comme un sous ensemble du dual de C([-1,1]) et je ne comprend pas pourquoi. Vu qu'on parle de topologie faible*, je pense que ca a un rapport avec le theoreme de Banach-Alaoglu mais je ne sais pas quelle norme peut s'appliquer à une mesure, donc quelles mesures sont dans la boule unité. De plus, je ne voit pas comment on pourrait considérer l'ensemble de départ comme un sous ensemble du dual de C([-1,1]) car un élément du dual aurait son ensemble de définition dans C([-1,1]) et une mesure est définie ici sur les boréliens de ([-1,1]). Est ce que quelqun a un élément de réponse, même incomplet? merci

[invitea07f6506]

Alors, dans ce que tu dis, il y a plusieurs questions, en fait.


* Espaces de mesures et espace dual des fonctions continues : je te renvoie au théorème de représentation de Riesz (dernier paragraphe). Je résume. Soit un espace topologique mesurable. On peut construire les mesures signées comme des applications de la tribu borélienne de à valeur dans vérifiant certaines propriétés. A partir de là, pour toute fonction mesurable bornée et toute mesure signée , on peut définir l'intégrale de par rapport à :



A mesure fixée, l'application est linéaire. De plus, elle est continue ; on peut vérifier que . Toute mesure signée définit donc une forme linéaire sur l'espace des fonctions mesurables bornées, et donc aussi sur l'espace des fonctions continues bornées. Le théorème de représentation de Riesz implique que si est compact, alors toute forme linéaire continue sur définit réciproquement une mesure signée sur . En pratique, on fait l'abus d'identifier l'espace des mesures signées et l'espaces de formes linéaires continues sur .


* Une remarque au passage : on considère ici des espaces de fonctions à valeurs réelles. Si on considérait des espaces de fonctions à valeurs complexes, il faudrait remplacer "mesure signée" par "mesure à valeur complexe" pour obtenir le même résultat.


* Norme sur le dual : supposons maintenant l'espace compact. L'espace vectoriel des fonctions continues sur à valeurs réelles, muni de la norme sup, est un espace de Banach. Son espace dual est l'espace des formes linéaires continues sur , et est un espace de Banach si on le muni de la norme :



Si on voit comme une mesure borélienne, alors on a . Cette norme est appelée variation totale de la mesure, et on peut remplacer "continue" par "mesurable bornée" dans sa définition. Maintenant, considérons l'espace des mesures de probabilité sur . Cet espace est manifestement convexe et borné. On vérifie de plus qu'il est fermé pour la norme en variation totale. Par le théorème de Hahn-Banach, c'est donc un fermé pour la topologie faible-*. De plus, il est contenu dans la boule unité fermée de l'espace des mesures signées, qui est un compact pour la topologie faible-* par le théorème de Banach-Alaoglu. C'est donc un compact pour la topologie faible-*.


* L'hypothèse de compacité sur est essentielle. Sinon, le théorème de représentation de Riesz ne peut pas être appliqué de cette façon-là, et donc toute la suite du raisonnement (qui repose sur la dualité obtenue) est invalidée. De fait, je te laisse vérifier à titre d'exercice que si est seulement localement compact ou -compact, alors en général n'est même pas localement compact.


* La norme en variation totale est une norme disponible sur l'espace des mesures signées, et définit donc une distance sur l'espace des mesures de probabilité. Il y a d'autres normes intéressantes si l'on suppose, par exemple, que est un espace métrique compact, comme la norme engendrée par la distance de Wasserstein, mais cela nous conduirait un peu au-delà du problème posé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66bc83d2]

merci beaucoup pour ta réponse très détaillée! je vais relire à tête reposée mais c'est déjà plus clair! bonne soirée