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Opérateur borné - analyse fonctionnelle



  1. #1
    franz2b

    Opérateur borné - analyse fonctionnelle


    ------

    Salut a tous,
    j'aimerai avoir de l'aide sur cet exercice:

    Soit muni de la norme

    Est ce que l'opérateur est borné.

    Si oui, calculer sa norme.

    merci beaucoup

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    homotopie

    Re : Opérateur borné - analyse fonctionnelle

    Je suppose que C([0,1]) est muni de la norme infinie.
    Dans ce cas il est clair que llL(f)ll<=llfll et 1 devient candidat pour être la norme.
    Pour cela il suffit d'exhiber une suite de fonctions tels que llfn'll reste constante et égale à 1 tandis que llfll tend vers 0. Il faut penser à une fonction dont les oscillations sont en valeur absolue non triviales mais nombreuses donc lfl reste faible ("trafiquer" une fonction sinus par exemple).

  4. #3
    franz2b

    Re : Opérateur borné - analyse fonctionnelle

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Je suppose que C([0,1]) est muni de la norme infinie.
    Dans ce cas il est clair que llL(f)ll<=llfll et 1 devient candidat pour être la norme.
    Pour cela il suffit d'exhiber une suite de fonctions tels que llfn'll reste constante et égale à 1 tandis que llfll tend vers 0. Il faut penser à une fonction dont les oscillations sont en valeur absolue non triviales mais nombreuses donc lfl reste faible ("trafiquer" une fonction sinus par exemple).

    Gracias l'ami, je vais plancher ca, et je te reviens te donner de mes nouvelles pour te dire si j'ai tout bien assimiler!

    ps: La norme infini, doit bien etre la norme sur C[0,1], ce n'est pas indiqué, mais je pense que c'est 'naturel'

  5. #4
    franz2b

    Re : Opérateur borné - analyse fonctionnelle

    Merci beaucoup homotopie, c'est tres gentil, partant du principe que la norme de L(f) est inférieure à 1, la suite a exhiber n'est pas dure a trouver, par contre (j'ai un peu honte de dire ca) je n'arrive pas a prouver l'inegalité de depart

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    franz2b

    Re : Opérateur borné - analyse fonctionnelle

    Donc
    Donc


    c'est bon!

  8. #6
    franz2b

    Re : Opérateur borné - analyse fonctionnelle

    Pour ce qui est de la norme de L

    dites moi si c'est bien ca:




    donc

    St cela implique

    Donc


    ccl:


  9. Publicité
  10. #7
    homotopie

    Re : Opérateur borné - analyse fonctionnelle

    Citation Envoyé par franz2b Voir le message

    Donc


    ccl:

    Ta conclusion est avec ce que tu as fait llLll>=1, ce qu'il te faut c'est l'inégalité inverse.
    Mais en reprenant tes fonctions gn, c'est à bien à quelque chose de ce type que je pensais, on a puisque llLll est la borne supérieure des llL(g)ll/llgll (avec les normes choisies pour les espaces consiodérés) on a llLll>=1/(1+1/npi), en particulier llLll est supérieure ou égale à la orne supérieure du membre de droite qui vaut justement 1 donc llLll>=1. Et comme on a déjà llLll<=1 (avec l'argument donné ci-avant) on a bien llLll=1.

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