Théorie de la mesure !

invite52487760 · 09/12/2007, 14h39

Salut :
Je voudrai savoir pourquoi, si $\text{[math]}$ est integrable et $\text{[math]}$ en mesure ( locale ) alors $\text{[math]}$ est équi - integrable !
Merci infiniment !

**Romain-des-Bois** · 09/12/2007, 15h03

Salut !

Qu'entends-tu par "equi-intégrable" ?

invite52487760 · 09/12/2007, 16h54

Salut "Romain-des-Bois" :
Si $\text{[math]}$ est une famille de fonctions dans $\text{[math]}$ , les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
$\text{[math]}$ Pour toute suite decroissante $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ( tribu ) telle que : $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Une famille $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est dite équi - integrable si $\text{[math]}$ est verifie $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ de la proposition precedente !
Merci d'avance de votre aide !!

invite52487760 · 10/12/2007, 08h48

Help pls !

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**invite35452583** · 10/12/2007, 09h27

La caractérisation i) d'une famille équi-intégrable fonctionne assez bien.
Soit e>0, comme $\text{[math]}$ et que f est L₁_intégrable, on a $\text{[math]}$
Il existe donc P tel que $\text{[math]}$
De plus on a $\text{[math]}$ en mesure locale donc $\text{[math]}$ et il existe N tel que pour tout n>N, on a $\text{[math]}$ .
Or, comme les $\text{[math]}$ sont décroissants on a pour tout p>P et n>N $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (on a mieux pour cette dernière mais qui peut le plus peut le moins).
Pour n<=N, on a $\text{[math]}$ donc il existe p_n tel que $\text{[math]}$ et ceci reste vrai pour tout p>p_n car la suite (A_p) est décroissante.
Ainsi pour les p>max(p₁,p₂,...,p_n,P) on a pour $\text{[math]}$ pour g=f_n, pour tout entier n, et g=f.
D'où la convergence voulue.

invite52487760 · 10/12/2007, 09h52

Bonjour "homotopie" et merci pour ta reponse :
Je voudrai que tu m'expliques pourquoi $\text{[math]}$ en mesure locale implique que $\text{[math]}$
Est ce que c'est parceque dans une partie equi integrable, la convergence en mesure locale implque la convergence en moyenne d'ordre $\text{[math]}$ , c'est à dire : $\text{[math]}$ en mesure locale implique que $\text{[math]}$ et donc : $\text{[math]}$ c'est ça ?

invite52487760 · 10/12/2007, 09h55

Envoyé par chentouf

Salut :
Je voudrai savoir pourquoi, si $\text{[math]}$ est integrable et $\text{[math]}$ en mesure ( locale ) alors $\text{[math]}$ est équi - integrable !
Merci infiniment !

Désolé voiçi l'enoncé correct :
Je voudrai savoir pourquoi, si $\text{[math]}$ est équi - integrable et $\text{[math]}$ en mesure ( locale ) alors $\text{[math]}$ est équi - integrable !
Merci infiniment !

invite52487760 · 10/12/2007, 09h56

Ici, on parle d'équi - integrabilité et non pas de l'integrabilité ! désolé pour l'erreur !

**invite35452583** · 10/12/2007, 10h02

Envoyé par chentouf

Bonjour "homotopie" et merci pour ta reponse :
Je voudrai que tu m'expliques pourquoi $\text{[math]}$ en mesure locale implique que $\text{[math]}$
Est ce que c'est parceque dans une partie equi integrable, la convergence en mesure locale implque la convergence en moyenne d'ordre $\text{[math]}$ , c'est à dire : $\text{[math]}$ en mesure locale implique que $\text{[math]}$ et donc : $\text{[math]}$ c'est ça ?

On a l'inégalité suivante llyl-lxll<=ly-xl d'où llf_nl-lfll<=lf_n-fl on intègre sur A_p pour avoir la convergence voulue (n utilisant la convergence en mesure locale).

invite52487760 · 10/12/2007, 10h10

"homotopie " , merci pour ces precisions là :
Il y'avait une petite erreur dans l'enoncé ! je viens de la corriger ! tu peux stp m'adapter ta demonstration au nouveau enoncé !
$\ \{ f_{n} , n \geq 0 \} $ est equi-integrable et non pas integrable !
Merci infiniment !!

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