théorie de la mesure

[invitefa636c3d]

bonjour à tous,
voila: je suis un cours d'intégration de Lebesgue assez pousé mais je suis un peu laché car je n'ai pas suivi le cours d'intégration au premier trimestre (mauvais choix... ) que je suis aussi en parallèle maintenant

j'ai donc quelques questions qui pourront peut-être paraitre naive mais je débute...

-déja j'aurai aimé savoir quelle est la différence, dans R, entre un borélien et un ensemble lebesgue-mesurable :est-ce la même chose car dans un cours on me parle d'ensembles lebesgue-mesurables et dans l'autre on considère l'espace mesuré (R,B(R),lambda) oû B(R) est la tribu borelienne et lambda la mesure de lebesgue...

-ensuite toutes les fonctions usuelles que l'on peut rencontrer sont-elles mesurables ,je pense bien qu'il existe des fonctions non mesurables mais il semble que bcp de fonctions soient mesurables non?

dernier point: je sais que les ouverts et les fermés de R sont mesurables mais pourquoi un intervalle semi-ouvert est il mesurable?

merci bien à ceux qui pourront m'aider sur quelques unes de mes interrogations

a+
Jameso
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[inviteab2b41c6]

Salut:
un borélien est un ensemble que tu peux etre vu comme intersection dénombrable ou union dénombrable d'ouverts.
En fait si tu rejettes l'axiome du choix, tout sous ensemble de R est borélien.
Sinon, alors tu peux trouver un ensemble qui est non Lebesgue mesurable, il existe un exemple classique, qui passe par un quotientage bien choisi de R, mais c'est un peu long à faire.
Borélien implique Lebesgue mesurable, mais pas l'inverse. (en fait l'ensemble des ensembles Lebesgue mesurable, est le complété des boréliens au sens de Carathéodory)
En fait. c'est assez imbitable tout ca, je le reconnais, mais donne toi un borélien, est ce que ses sous ensembles sont boréliens? Non, il y'a aucune raison.
Maintenant, donne toi un borélien de mesure nulle, ses sous ensembles sont ils de mesures nulles?
Bein on vient de dire que les sous ensembles d'un borélien ne sont pas forcément des boréliens, alors comment pourraient ils etre de mesure nulle....
Lesbesgue lui, arrive et dit que les sous ensembles d'un borélien de mesure nulle, sont tous des sous ensemble de mesure nulle (mais pas forcément borélien)
Si maintenant, tu prends toute la collection des ensembles et de celle que tu as rajouté, tu as la complétion de l'ensemble de Borel (note que je t'ai parlé des ensembles de mesure nulle, il ne fait cependant pas que rajouter ceux ci...)

Cet ensemble est ce que l'on appelle le complété de ta sigma algebre de Borel.
Les Lebesgue mesurable sont donc plus facile à manipuler que les précédents et forment une sigma algebre (je crois qu'on trouve le terme de tribu aussi).

Ensuite:
Une fonction est mesurable si f^(-1)(M)=M' ou M et M' sont des mesurables, autrements dit:
une fonction est mesurable si (définition) l'image réciproque de tout mesurable est mesurable.
Ceci devrait te rappeler une chose:
L'image réciproque de tout ouvert (resp fermé) est ouvert (resp fermé) relativement à notre espace topologique.
Cette dernière définition est celle de la continuité, et la 1e de la mesurabilité.
Note qu'elles sont très voisines... et que la 2e implique trivialement la 1e pour la mesure de Lebesgue (une fonction continue est mesurable puisque tout ouvert est borélien, par définition d'un borélien)

Maintenant, change complétement de mesure, donne toi n'importe quelle tribu P sur un espace X.
Donne toi une partie de X qui ne soit pas dans ta tribu.
ie, donne toi une partie Y qui ne soit pas mesurable.
Que penses tu alors de sa fonction caracteristique??

Pour répondre à ta dernière question:
Borélien={partie de R engendrées par les ouverts et les fermés}
Prend un semi fermé [a,b[,
prend c tel que a<b<c
que penses tu de
[a,c] inter ]b,c[
Tu as un fermé (borélien) qui intersecte un ouvert (borélien) donc ....

Voila, je suis conscient que ce n'est pas trivial, meme dans mes explications, donc prend le temps de relire tout ca à tête reposée, parce que c'est important.
Si tu ne vois pas al différence entre Lebesgue mesurable et Borel mesurable, ce n'est pas grave, personne au monde ne la visualise, mais sache juste que Borel est plus petit que Lebesgue

[inviteab2b41c6]

re-
je n'ai répondu que partiellement à ta première question, mais dans R, une fonction non mesurable est pas triviale à trouver.... En fait elles le sont "toutes", sauf pas beaucoup.... Ca veut rien dire, dit comme ca, mais en poursuivant ton cours sur la mesure, tu comprendras ce que ca veut dire

[inviteab2b41c6]

Je me suis trompé sur mon histoire d'intersection, mais je te laisse trouver comment ca marche, c'est du meme ordre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa636c3d]

merci Quinto pour ton aide, je vais lire tout ça tranquillement hors connexion ...
c'est vraiment sympa de ta part.

amicalement
james

[invite4793db90]

re-
je n'ai répondu que partiellement à ta première question, mais dans R, une fonction non mesurable est pas triviale à trouver.... En fait elles le sont "toutes", sauf pas beaucoup.... Ca veut rien dire, dit comme ca, mais en poursuivant ton cours sur la mesure, tu comprendras ce que ca veut dire

Salut,

comme Quinto l'a souligné, tout ceci est intimement lié à l'axiome du choix qui, bien qu'utile, rend ici les choses bien compliquées (ensembles non mesurables).

[invitefa636c3d]

bonjour,
quinto: j'ai compris dans les grandes lignes ton éclairage et ce que tu as dis et je t'en remercie.

sinon j'ai une petite question de dénombrabilité et je me suis permis de continuer sur ce fil:
on me demande de voir si {(x,y)€R² ,x-y€ Q} est dénombrable

j'ai pensé à utiliser une relation d'équivalence du style (xRy ssi x-y€Q)

puis j'aurai aimé "quotienter" par Q pour utiliser le premier theoreme d'isomorphisme pour les groupes
mais il me faudrait alors trouver un morphisme surjectif de noyau Q...
et la je ne vois pas ? existe t-il?

en écrivant ceci ,je me demande si je ne suis pas en train de raconter n'importe quoi...c'est peut-être bcp plus simple que ça et comme souvent je me complique la vie
qu'en pensez vous?

merci
jameso

[inviteca3a9be7]

Salut,

>>si {(x,y)€R² ,x-y€ Q} est dénombrable


A priori ça contient {(x,x+1), x €R} qui n'est pas dénombrable. Ou j'ai pas compris la question ?

[invitefa636c3d]

merci µ² pour ta réponse ,je n'y aurais jamais pensé ,mais juste une chose: pourquoi {(x,x+1) ,€R} n'est pas dénombrable? j'ai un peu de mal avec ces histoires de dénombrabilité...

a+
james

[invite88ef51f0]

Salut,
{(x,x+1) ,€R} est en bijection avec R...

[invite4793db90]

Salut,

si tu tiens à considérer le quotient R/Q, tu peux voir qu'il n'est pas dénombrable par l'absurde: si on choisit un représentant x_k de chaque classe de R/Q, R est la réunion des x_k+Q. Or, si cette réunion était dénombrable, R serait dénombrable.

A noter aussi qu'un morphisme de R dans R de noyau Q envoie 1 sur 0 et est par conséquent nul...

Cordialement.

[inviteab2b41c6]

Note que je te parlais de trouver selon un quotient bien un choisi, un ensemble non mesurable.
La relation d'équivalence sur laquelle tu travailles est justement celle à laquelle je faisais allusion...

[invitefa636c3d]

merci à tous pour vos réponses,
bonne semaine

a+
jameso

[invitefe1390a2]

slt a tou,alors g besoin d'un exemple d'une partie de R qui n'est pa un borélien avec une petite demonstration...pouvez _vs m'aider svp???