Groupes cycliques

[invite4f10d00b]

Bonjour,
Je n'arrive pas à faire cet exercice là:
Si G=<x> est un groupe cyclique d'ordre n et si d est un diviseur de n, montrer que A=<x^(n/d)> est un sous groupe d'ordre d de G est que c'est le seul.

En effet voilà ce que je suis arrivé à faire :
G=<x> groupe cyclique d'ordre n
=> xⁿ=1
=> Il existe k appartenant à {0,1,...,n-1} tq x^kd=1
=>Il existe y appartenant à G et y=x^k tq y^d=1
...
=> A=<y> est bien un sous groupe d'ordre d de G.

(Je n'arrive pas à montrer que d est le plus petit entier tq y^d=1)

Je n'arrive pas à montrer que A est unique
Merci d'avance
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[thepasboss]

Bonjour,
pour la première question suppose qu'il existe un entier p plus petit que d qui vérifie y^p=1, tu devrais arriver à une conclusion en contradiction avec le fait que n soit l'ordre de x.

Pour l'unicité du groupe :

Soit B un sous groupe de G d'ordre d. G étant cyclique, B l'est aussi, ie il existe z d'ordre d dans G tel que B=<z>. Or z est dans G donc il existe q dans {1,...,n} tel que z=x^q. De plus z^d=1.

On fait la division euclidienne de q par k=n/d.
q = k*u + r avec r<k . Or z^d = 1 = x^d(k*u + r) = (x^(n*u))*x^(d*r) = x^(d*r). Or r*d < n car r<k et donc r = 0.

On a donc q = k*u, et donc x^q est dans A. On a donc que B = <x^q> est inclue dans A. Or card(A) = card (B) donc A=B et cela prouve l'unicité.

Voila ^^

[invite4f10d00b]

Merci !!!
Ta réponse m'a été très précieuse
Bonne soirée