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Sous-groupes des groupes cycliques



  1. #1
    rhomuald

    Sous-groupes des groupes cycliques


    ------

    Bonjour,

    voilà un exo où je galère:

    1) Démontrer que les sous-groupes de correspondent biunivoquement aux sous-groupes de , avec divisant .

    2) En déduire qu'un sous-groupe d'un groupe cyclique est un groupe cyclique.

    Bon pour la 1) c'est ok, mais pour la 2e je m'embrouille sec, j'ai bien compris que l'essentiel de l'exo consiste à montrer que est isomorphe à , mais je ne vois pas en quoi la question 1) peut nous aider, et impossible de trouver un tel isomorphisme pour l'instant.

    Merci pour votre aide.

    -----

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  3. #2
    homotopie

    Re : sous-groupes des groupes cycliques

    Si tu t'embrouilles à ce niveau, il me semble que tu as oublié que cyclique=mono-engendré et fini.
    N'y aurait-il pas un candidat tout indiqué pour être un générateur du sous-groupe de Z/nZ correspondant à kZ ?

  4. #3
    rhomuald

    Re : sous-groupes des groupes cycliques

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Si tu t'embrouilles à ce niveau, il me semble que tu as oublié que cyclique=mono-engendré et fini.
    N'y aurait-il pas un candidat tout indiqué pour être un générateur du sous-groupe de Z/nZ correspondant à kZ ?
    salut homotopie,

    non je n'ai pas oublié ce qu'est un groupe cyclique, mais il y a des choses qui m'échappe, c'est vrai.

    Donc le sous-groupe de Z/nZ correspondant à kZ est p(kZ) (où p est la projection canonique) mais je ne saurai pas vraiment dire ce que c'est que ces éléments.

    on sait que k est un générateur de Z, mais je ne sais pas si pour autant p(k) est un générateur de p(kZ).

  5. #4
    homotopie

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    H=p(kZ)={p(km) m dans Z}
    Mais p(k2)=p(2k)=p(k)+p(k)=2p(k)
    ...p(km)=m.p(k)
    Donc p(kZ)=Z.p(k) ou autrement dit p(<k>)=<p(k)> (ceci est vrai pour toute partie X d'un groupe abélien ou non, fini ou non, et tout morphisme de groupe f(<X>)=<f(X)> <.> désigne le groupe engendré par X).

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    H=p(kZ)={p(km) m dans Z}
    Mais p(k2)=p(2k)=p(k)+p(k)=2p(k)
    ...p(km)=m.p(k)
    Donc p(kZ)=Z.p(k) ou autrement dit p(<k>)=<p(k)> (ceci est vrai pour toute partie X d'un groupe abélien ou non, fini ou non, et tout morphisme de groupe f(<X>)=<f(X)> <.> désigne le groupe engendré par X).


    ok oui je commence à me représenter un peu mieux.

    Une chose qui me tracasse encore. Comment montrer que ?

  8. #6
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    H=p(kZ)={p(km) m dans Z}
    Mais p(k2)=p(2k)=p(k)+p(k)=2p(k)
    ...p(km)=m.p(k)
    Donc p(kZ)=Z.p(k) ou autrement dit p(<k>)=<p(k)> (ceci est vrai pour toute partie X d'un groupe abélien ou non, fini ou non, et tout morphisme de groupe f(<X>)=<f(X)> <.> désigne le groupe engendré par X).
    Ah mais en fait je m'imaginais carrément autre chose

    de ce que tu viens de dire comme on a choisi H sous-groupe quelconque de Z/nZ quelconque et que <p(k)> est un générateur de H, donc H est cyclique. Cela suffit en fait à prouver 2), c'est bien ça? Et moi qui m'embêtais à chercher un isomorphisme de kZ/nZ ur Z(n/k)Z.

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  10. #7
    homotopie

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Ah mais en fait je m'imaginais carrément autre chose

    de ce que tu viens de dire comme on a choisi H sous-groupe quelconque de Z/nZ quelconque et que <p(k)> est un générateur de H, donc H est cyclique. Cela suffit en fait à prouver 2), c'est bien ça?
    Oui
    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Et moi qui m'embêtais à chercher un isomorphisme de kZ/nZ ur Z(n/k)Z.
    Mais maintenant que tu sais que c'est un cyclique et comme il est assez facile calculer l'ordre de p(k), cet isomorphisme n'est pas difficile à montrer.

  11. #8
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Mais maintenant que tu sais que c'est un cyclique et comme il est assez facile calculer l'ordre de p(k), cet isomorphisme n'est pas difficile à montrer.
    Par factorisation du morphisme p, je trouve que kZ/nZ et H sont isomorphes. Mais je ne vois pas comment montrer que Z/(n/k)Z est isomorphe à H, même avec l'ordre de p(k) où si je comprends bien doit être égal à n/k.

  12. #9
    homotopie

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Par factorisation du morphisme p, je trouve que kZ/nZ et H sont isomorphes. Mais je ne vois pas comment montrer que Z/(n/k)Z est isomorphe à H, même avec l'ordre de p(k) où si je comprends bien doit être égal à n/k.
    mp(k)=0 dans Z/nZ signifie que mk=hn donc m=h(n/k) de là on en déduit facilement l'ordre de p(k) dans Z/nZ.
    Et après on ne retient que H=<p(k)> et que p(k) est d'ordre n/k et on utilise l'unicité à isomorphisme près des groupes cycliques d'un ordre donné.

  13. #10
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Donc on travaille avec .

    Notons , .

    on a alors ,

    pour ,

    on a ,

    ie ,

    ie ,

    ie ,

    ie car divise ,

    donc divise ,

    en particulier divise , reste à montrer que divise , c'est bien ça?
    Dernière modification par rhomuald ; 29/02/2008 à 00h56.

  14. #11
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    mp(k)=0 dans Z/nZ signifie que mk=hn donc m=h(n/k) de là on en déduit facilement l'ordre de p(k) dans Z/nZ.
    Et après on ne retient que H=<p(k)> et que p(k) est d'ordre n/k et on utilise l'unicité à isomorphisme près des groupes cycliques d'un ordre donné.
    ok donc si j'ai bien compris je suis sur la bonne piste.

    Merci homotopie.

  15. #12
    homotopie

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    ok donc si j'ai bien compris je suis sur la bonne piste.
    Oui (nos posts se sont croisés) mais tu peux tout de suite conclure mieux de i divise n/k.
     Cliquez pour afficher

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  17. #13
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    ok je crois que j'ai trouvé:

    divise ,

    ie .

    Donc .

    Je vais regarder ce que tu proposes dans le spoiler.

  18. #14
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Sur le même sujet une autre question qui me fait galérer,

    Montrer que si est un groupe cyclique d'ordre , si est un entier relatif et si , alors et engendrent le même sous-groupe.


    Donc pour la première inclusion:

    d'après Bezout il existe tel que ,

    , donc , et donc .

    Mais pour l'inclusion contraire, je ne vois pas

  19. #15
    invite986312212
    Invité

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    h divise k

  20. #16
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Sur le même sujet une autre question qui me fait galérer,

    Montrer que si est un groupe cyclique d'ordre , si est un entier relatif et si , alors et engendrent le même sous-groupe.


    Donc pour la première inclusion:

    d'après Bezout il existe tel que ,

    , donc , et donc .

    Mais pour l'inclusion contraire, je ne vois pas
    Bon ok, encore une fois je crois que je me suis pris la tête pour rien.

    On sait que divise , donc il existe tel que .

    Donc .

    D'où .

  21. #17
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    h divise k
    oui, je viens de m'apercevoir, je cherchais trop compliqué, merci ambrosio.

  22. #18
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    J'ai encore une autre question:

    Si est un groupe d'ordre cyclique d'ordre et si est un diviseur de , montrer que est un sous-groupe d'ordre de et que c'est le seul.

    Je ne vois pas comment montrer l'unicité.

    Merci.

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  24. #19
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Soit un autre sous-groupe d'ordre de ,
    donc il existe tel que avec .

    Il faut que je montre que et engendrent le même sous-groupe.

    Au vu de la question précédente, je pense qu'il faut montrer que .

  25. #20
    homotopie

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    Tu peux le faire ainsi.
    Tu as un morphisme surjectif f: Z->>H qui étend f(1)=x. Le noyau de f est nZ par définition de l'ordre d'un élément.
    Soit K un sous-groupe d'ordre d. f-1(K) est de la forme mZ, K=f(m), avec m divise n. n=?m Reste à montrer que ? est l'ordre de f(m).

  26. #21
    rhomuald

    Re : Sous-groupes des groupes cycliques

    ok en fait j'ai trouvé en procédant autrement, merci homotopie, je regarde ta proposition.

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