Sous-groupes des groupes cycliques

[rhomuald]

Bonjour,

voilà un exo où je galère:

1) Démontrer que les sous-groupes de correspondent biunivoquement aux sous-groupes de , avec divisant .

2) En déduire qu'un sous-groupe d'un groupe cyclique est un groupe cyclique.

Bon pour la 1) c'est ok, mais pour la 2e je m'embrouille sec, j'ai bien compris que l'essentiel de l'exo consiste à montrer que est isomorphe à , mais je ne vois pas en quoi la question 1) peut nous aider, et impossible de trouver un tel isomorphisme pour l'instant.

Merci pour votre aide.
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[homotopie]

Si tu t'embrouilles à ce niveau, il me semble que tu as oublié que cyclique=mono-engendré et fini.
N'y aurait-il pas un candidat tout indiqué pour être un générateur du sous-groupe de Z/nZ correspondant à kZ ?

[rhomuald]

Si tu t'embrouilles à ce niveau, il me semble que tu as oublié que cyclique=mono-engendré et fini.
N'y aurait-il pas un candidat tout indiqué pour être un générateur du sous-groupe de Z/nZ correspondant à kZ ?

salut homotopie,

non je n'ai pas oublié ce qu'est un groupe cyclique, mais il y a des choses qui m'échappe, c'est vrai.

Donc le sous-groupe de Z/nZ correspondant à kZ est p(kZ) (où p est la projection canonique) mais je ne saurai pas vraiment dire ce que c'est que ces éléments.

on sait que k est un générateur de Z, mais je ne sais pas si pour autant p(k) est un générateur de p(kZ).

[homotopie]

H=p(kZ)={p(km) m dans Z}
Mais p(k2)=p(2k)=p(k)+p(k)=2p(k)
...p(km)=m.p(k)
Donc p(kZ)=Z.p(k) ou autrement dit p(<k>)=<p(k)> (ceci est vrai pour toute partie X d'un groupe abélien ou non, fini ou non, et tout morphisme de groupe f(<X>)=<f(X)> <.> désigne le groupe engendré par X).

[A voir en vidéo sur Futura]

[rhomuald]

H=p(kZ)={p(km) m dans Z}
Mais p(k2)=p(2k)=p(k)+p(k)=2p(k)
...p(km)=m.p(k)
Donc p(kZ)=Z.p(k) ou autrement dit p(<k>)=<p(k)> (ceci est vrai pour toute partie X d'un groupe abélien ou non, fini ou non, et tout morphisme de groupe f(<X>)=<f(X)> <.> désigne le groupe engendré par X).

ok oui je commence à me représenter un peu mieux.

Une chose qui me tracasse encore. Comment montrer que ?

[rhomuald]

H=p(kZ)={p(km) m dans Z}
Mais p(k2)=p(2k)=p(k)+p(k)=2p(k)
...p(km)=m.p(k)
Donc p(kZ)=Z.p(k) ou autrement dit p(<k>)=<p(k)> (ceci est vrai pour toute partie X d'un groupe abélien ou non, fini ou non, et tout morphisme de groupe f(<X>)=<f(X)> <.> désigne le groupe engendré par X).

Ah mais en fait je m'imaginais carrément autre chose

de ce que tu viens de dire comme on a choisi H sous-groupe quelconque de Z/nZ quelconque et que <p(k)> est un générateur de H, donc H est cyclique. Cela suffit en fait à prouver 2), c'est bien ça? Et moi qui m'embêtais à chercher un isomorphisme de kZ/nZ ur Z(n/k)Z.

[homotopie]

Ah mais en fait je m'imaginais carrément autre chose

de ce que tu viens de dire comme on a choisi H sous-groupe quelconque de Z/nZ quelconque et que <p(k)> est un générateur de H, donc H est cyclique. Cela suffit en fait à prouver 2), c'est bien ça?

Oui

Et moi qui m'embêtais à chercher un isomorphisme de kZ/nZ ur Z(n/k)Z.

Mais maintenant que tu sais que c'est un cyclique et comme il est assez facile calculer l'ordre de p(k), cet isomorphisme n'est pas difficile à montrer.

[rhomuald]

Mais maintenant que tu sais que c'est un cyclique et comme il est assez facile calculer l'ordre de p(k), cet isomorphisme n'est pas difficile à montrer.

Par factorisation du morphisme p, je trouve que kZ/nZ et H sont isomorphes. Mais je ne vois pas comment montrer que Z/(n/k)Z est isomorphe à H, même avec l'ordre de p(k) où si je comprends bien doit être égal à n/k.

[homotopie]

Par factorisation du morphisme p, je trouve que kZ/nZ et H sont isomorphes. Mais je ne vois pas comment montrer que Z/(n/k)Z est isomorphe à H, même avec l'ordre de p(k) où si je comprends bien doit être égal à n/k.

mp(k)=0 dans Z/nZ signifie que mk=hn donc m=h(n/k) de là on en déduit facilement l'ordre de p(k) dans Z/nZ.
Et après on ne retient que H=<p(k)> et que p(k) est d'ordre n/k et on utilise l'unicité à isomorphisme près des groupes cycliques d'un ordre donné.

[rhomuald]

Donc on travaille avec .

Notons , .

on a alors ,

pour ,

on a ,

ie ,

ie ,

ie ,

ie car divise ,

donc divise ,

en particulier divise , reste à montrer que divise , c'est bien ça?

[rhomuald]

mp(k)=0 dans Z/nZ signifie que mk=hn donc m=h(n/k) de là on en déduit facilement l'ordre de p(k) dans Z/nZ.
Et après on ne retient que H=<p(k)> et que p(k) est d'ordre n/k et on utilise l'unicité à isomorphisme près des groupes cycliques d'un ordre donné.

ok donc si j'ai bien compris je suis sur la bonne piste.

Merci homotopie.

[homotopie]

ok donc si j'ai bien compris je suis sur la bonne piste.

Oui (nos posts se sont croisés) mais tu peux tout de suite conclure mieux de i divise n/k.

 Cliquez pour afficher

L'ordre d'un élément x est le plus petit entier tel que nx=0 (en notation additive).
Or, pour un groupe cyclique ordre d'un générateur=cardinal du groupe.

[rhomuald]

ok je crois que j'ai trouvé:

divise ,

ie .

Donc .

Je vais regarder ce que tu proposes dans le spoiler.

[rhomuald]

Sur le même sujet une autre question qui me fait galérer,

Montrer que si est un groupe cyclique d'ordre , si est un entier relatif et si , alors et engendrent le même sous-groupe.


Donc pour la première inclusion:

d'après Bezout il existe tel que ,

, donc , et donc .

Mais pour l'inclusion contraire, je ne vois pas

[invite986312212]

h divise k

[rhomuald]

Sur le même sujet une autre question qui me fait galérer,

Montrer que si est un groupe cyclique d'ordre , si est un entier relatif et si , alors et engendrent le même sous-groupe.


Donc pour la première inclusion:

d'après Bezout il existe tel que ,

, donc , et donc .

Mais pour l'inclusion contraire, je ne vois pas

Bon ok, encore une fois je crois que je me suis pris la tête pour rien.

On sait que divise , donc il existe tel que .

Donc .

D'où .

[rhomuald]

h divise k

oui, je viens de m'apercevoir, je cherchais trop compliqué, merci ambrosio.

[rhomuald]

J'ai encore une autre question:

Si est un groupe d'ordre cyclique d'ordre et si est un diviseur de , montrer que est un sous-groupe d'ordre de et que c'est le seul.

Je ne vois pas comment montrer l'unicité.

Merci.

[rhomuald]

Soit un autre sous-groupe d'ordre de ,
donc il existe tel que avec .

Il faut que je montre que et engendrent le même sous-groupe.

Au vu de la question précédente, je pense qu'il faut montrer que .

[homotopie]

Tu peux le faire ainsi.
Tu as un morphisme surjectif f: Z->>H qui étend f(1)=x. Le noyau de f est nZ par définition de l'ordre d'un élément.
Soit K un sous-groupe d'ordre d. f^-1(K) est de la forme mZ, K=f(m), avec m divise n. n=?m Reste à montrer que ? est l'ordre de f(m).

[rhomuald]

ok en fait j'ai trouvé en procédant autrement, merci homotopie, je regarde ta proposition.