Bonjour à tous !
Avant tout pour éviter la confusion je vous poste mon sujet d'exercice et ma question ensuite.
Sujet :
La question 1 se fait sans problème en posant une fonction qui à x associe Exp(x) et vue que pour tout x de R+ Exp(x)>1 on a bien un minimum. On remarque alors qu'on a Exp(x)-Exp(0)=Exp(x)-1 et donc en appliquant l'IAF on a bien que x<<Exp(x)-1.Le but de l'exercice est de montrer que pour tout x de R+ , on a : 0<< Exp(x)-1-x<<x²/2*Exp(x)
1) En utilisant l'IAF montrer que pour tout x de R+ on a x<<Exp(x)-1
On fixe x>0 et on considère la fonction f : R+ -> R+ et qui à t associe Exp(t)-1-t-k*t²/2 avec k dans R
2) Calculer f(0) et f'(0)
3) Montrer que l'on peut choisir k tel que f(x)=0. Dans la suite k sera égal à la valeur trouvée ici.
4)Montrer qu'il existe c€]0,x[ tel que f'(c)=0
5)En déduire qu'il existe d€]0,c[ tel que f''(d)=0 et exprimer k en fonction de d
6)Conclure
Pour la 2 je trouve deux fois 0
La 3 me parait plus bizarre, j'ai l'impression qu'on cherche k tel que pour tout x f(x) = 0 mais déjà on a fixé x>0 et en plus x n'intervient nul part dans l'expression de f. De plus si on suit ma logique f serait constante donc les dérivées première et seconde sont sans intérêt.
Merci.
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et on considère la fonction