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Inégalité des accroissements finis



  1. #1
    MxM

    Inégalité des accroissements finis


    ------

    Bonjour à tous !

    Avant tout pour éviter la confusion je vous poste mon sujet d'exercice et ma question ensuite.


    Sujet :
    Le but de l'exercice est de montrer que pour tout x de R+ , on a : 0<< Exp(x)-1-x<<x²/2*Exp(x)

    1) En utilisant l'IAF montrer que pour tout x de R+ on a x<<Exp(x)-1

    On fixe x>0 et on considère la fonction f : R+ -> R+ et qui à t associe Exp(t)-1-t-k*t²/2 avec k dans R

    2) Calculer f(0) et f'(0)
    3) Montrer que l'on peut choisir k tel que f(x)=0. Dans la suite k sera égal à la valeur trouvée ici.
    4)Montrer qu'il existe c€]0,x[ tel que f'(c)=0
    5)En déduire qu'il existe d€]0,c[ tel que f''(d)=0 et exprimer k en fonction de d
    6)Conclure
    La question 1 se fait sans problème en posant une fonction qui à x associe Exp(x) et vue que pour tout x de R+ Exp(x)>1 on a bien un minimum. On remarque alors qu'on a Exp(x)-Exp(0)=Exp(x)-1 et donc en appliquant l'IAF on a bien que x<<Exp(x)-1.

    Pour la 2 je trouve deux fois 0

    La 3 me parait plus bizarre, j'ai l'impression qu'on cherche k tel que pour tout x f(x) = 0 mais déjà on a fixé x>0 et en plus x n'intervient nul part dans l'expression de f. De plus si on suit ma logique f serait constante donc les dérivées première et seconde sont sans intérêt.

    Merci.

    -----

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  3. #2
    ericcc

    Re : Inégalité des accroissements finis

    Il doity avoir une erreur dans ton énoncé. Que signifie le sigle << ?

  4. #3
    MxM

    Re : Inégalité des accroissements finis

    << désigne inférieur ou égale.


    Mais il me semble bien qu'il y a une erreur

  5. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : Inégalité des accroissements finis

    ça doit être "choisir k tel que f(t)=0" mais il doit y avoir aussi une erreur dans la définition de f, qui devrait dépendre de x. Peut-être f(t)=exp(x)-1-x-kt^2 ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    MxM

    Re : Inégalité des accroissements finis

    J'ai bien repris l'énoncé mot pour mot. Je pense que vue qu'on a fixé x on a f(x)=exp(x)-1-x-k*x²/2, (en prenant x comme une valeur prise par t) dans ce cas on trouverait une valeur de k tel que f(x)=0 qui ne serait vraie que pour x et non pour tout t ?

  8. #6
    God's Breath

    Re : Inégalité des accroissements finis

    Je relis l'énoncé :
    On fixe et on considère la fonction et qui à associe avec dans

    2) Calculer et
    3) Montrer que l'on peut choisir tel que . Dans la suite sera égal à la valeur trouvée ici.
    La fonction à considérer est donc .

    On a facilement donc , puis, comme est fixé, il existe une unique valeur de tel que puisque cette dernière équation est du premier degré en , le coefficient de n'est pas nul.

    On peut alors utiliser les accroissements finis sur pour , puis sur pour , et conclure...

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