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Valeurs propres



  1. #1
    invite43219988

    Valeurs propres


    ------

    Bonjour.
    Une valeur propre d'un endomorphisme u, c'est un a tel que u(x)=ax.
    Si M est la matrice associée à u, pourquoi les valeurs propres sont-elles les a tels que :
    det(M-aId)=0 ?

    Maintenant puis-je obtenir une interpretation géométrique de ça en considérant que le determinant de M-aId est le volume du parallélépipède "engendré" par les 3 vecteurs qui forment cette matrice ?

    Merci d'avance et désolé pour les questions idiotes, la fatigue sans doute...

    -----

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  3. #2
    invite43219988

    Re : Valeurs propres

    x non nul bien entendu...

  4. #3
    Ledescat

    Re : Valeurs propres

    Salut.

    S'il existe x non nul, et a tel que f(x)=ax, alors il existe x et a telle que (f-a Id)(x)=0, donc (f-aI) non injective, donc non bijective, donc det(M-aI) nul.

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    invite43219988

    Re : Valeurs propres

    Très fort ! Merci.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite43219988

    Re : Valeurs propres

    Puisqu'a priori M-aId n'est pas surjective, pourquoi y aurait-il équivalence ? En gros qu'est-ce qui me prouve que a est bien une valeur propre ?

  8. #6
    Ledescat

    Re : Valeurs propres

    Et bien, si a vérifie det(M-aI)=0, tu as alors (M-aI) non bijective, donc non injective. Donc le noyau est non nul...
    Cogito ergo sum.

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  10. #7
    invite43219988

    Re : Valeurs propres

    Bah pourquoi non bijective impliquerait nécessairement non injective ?

  11. #8
    Ledescat

    Re : Valeurs propres

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Bah pourquoi non bijective impliquerait nécessairement non injective ?
    Parcequ'en dimension finie, et pour f endomorphisme, il y a équivalence entre:
    i) f injective.
    ii) f surjective.
    iii) f bijective.
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    invite43219988

    Re : Valeurs propres

    Exact merci beaucoup !

  13. #10
    xxxxxxxx

    Re : Valeurs propres

    Bonjour

    Vu mon niveau, seul le concept m'est accessible, mais je serais aussi intéréssé par la réponse à cette question.

    Merci d'avance

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Maintenant puis-je obtenir une interpretation géométrique de ça en considérant que le determinant de M-aId est le volume du parallélépipède "engendré" par les 3 vecteurs qui forment cette matrice ?

    Merci d'avance et désolé pour les questions idiotes, la fatigue sans doute...

  14. #11
    Ledescat

    Re : Valeurs propres

    Je ne vois rien de géométriquement intéressant ici..
    Cogito ergo sum.

  15. #12
    Poupoulinnette

    Re : Valeurs propres

    Moi j'ai une question concernant les valeurs propres.
    J'aurais voulu savoir si quelqu'un sait répondre à cette question :

    Soient x1 et x2 deux vecteurs propres de u associés respectivement aux valeurs propres lambda1 et lambda2. Montrer que Vect(x1,x2) est stable par u( u étant un endomorphisme de E et Vect(x1,x2) est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs x1 et x2).

    Merci d'avance.

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  17. #13
    Ledescat

    Re : Valeurs propres

    Salut.

    Prends x appartenant à Vect(x1,x2) et montre que u(x) appartient à vect(x1,x2).

    Pour ce faire, tu écris x=alpha x1 + beta x2, le résultat est direct...
    Cogito ergo sum.

  18. #14
    Poupoulinnette

    Re : Valeurs propres

    Merci beaucoup de m'avoir répondu.
    Mais je ne comprends pas très bien ce que tu as fait.
    En fait je ne comprends pas comment l'on peut montrer que u(x) appartient à vect(x1,x2) avec l'expression que tu as écrit?

  19. #15
    Zébule

    Re : Valeurs propres

    Ton application est linéaire donc u(alpha*x1 + beta*x2)=alpha*u(x1)+beta*u(x2 )

    Or a priori, tu sais des choses sur u(x1) et u(x2) !

  20. #16
    Poupoulinnette

    Re : Valeurs propres

    u(x1) ne serait pas compris dans x1 et u(x2) dans x2 ??

  21. #17
    Zébule

    Re : Valeurs propres

    Je ne comprends pas trop ce que tu veux dire.
    Si X1 est vecteur propre de u associé à lambda1 alors u(x1)=lambda1*x1 (par définition). Et c'est pareil pour x2. A partir de là tu peux conclure je crois.

  22. #18
    Poupoulinnette

    Re : Valeurs propres

    je crois avoir la réponse.
    u(x) = alpha*lamba1*x1+beta*lambda2*x 2

    et donc u(x) appartient à vect(x1,x2).

    et donc vect(x1,x2) est stable par u.

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  24. #19
    Ledescat

    Re : Valeurs propres

    C'est bien ça !
    Cogito ergo sum.

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