Bonjour.
Une valeur propre d'un endomorphisme u, c'est un a tel que u(x)=ax.
Si M est la matrice associée à u, pourquoi les valeurs propres sont-elles les a tels que :
det(M-aId)=0 ?
Maintenant puis-je obtenir une interpretation géométrique de ça en considérant que le determinant de M-aId est le volume du parallélépipède "engendré" par les 3 vecteurs qui forment cette matrice ?
Merci d'avance et désolé pour les questions idiotes, la fatigue sans doute...
x non nul bien entendu...
Salut.
S'il existe x non nul, et a tel que f(x)=ax, alors il existe x et a telle que (f-a Id)(x)=0, donc (f-aI) non injective, donc non bijective, donc det(M-aI) nul.
Cordialement.
Très fort ! Merci.
Puisqu'a priori M-aId n'est pas surjective, pourquoi y aurait-il équivalence ? En gros qu'est-ce qui me prouve que a est bien une valeur propre ?
Et bien, si a vérifie det(M-aI)=0, tu as alors (M-aI) non bijective, donc non injective. Donc le noyau est non nul...
Bah pourquoi non bijective impliquerait nécessairement non injective ?
Parcequ'en dimension finie, et pour f endomorphisme, il y a équivalence entre:Envoyé par Ganash
i) f injective.
ii) f surjective.
iii) f bijective.
Exact merci beaucoup !
Bonjour
Vu mon niveau, seul le concept m'est accessible, mais je serais aussi intéréssé par la réponse à cette question.
Merci d'avance
Je ne vois rien de géométriquement intéressant ici..
Moi j'ai une question concernant les valeurs propres.
J'aurais voulu savoir si quelqu'un sait répondre à cette question :
Soient x1 et x2 deux vecteurs propres de u associés respectivement aux valeurs propres lambda1 et lambda2. Montrer que Vect(x1,x2) est stable par u( u étant un endomorphisme de E et Vect(x1,x2) est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs x1 et x2).
Merci d'avance.
Salut.
Prends x appartenant à Vect(x1,x2) et montre que u(x) appartient à vect(x1,x2).
Pour ce faire, tu écris x=alpha x1 + beta x2, le résultat est direct...
Merci beaucoup de m'avoir répondu.
Mais je ne comprends pas très bien ce que tu as fait.
En fait je ne comprends pas comment l'on peut montrer que u(x) appartient à vect(x1,x2) avec l'expression que tu as écrit?
Ton application est linéaire donc u(alpha*x1 + beta*x2)=alpha*u(x1)+beta*u(x2 )
Or a priori, tu sais des choses sur u(x1) et u(x2) !
u(x1) ne serait pas compris dans x1 et u(x2) dans x2 ??
Je ne comprends pas trop ce que tu veux dire.
Si X1 est vecteur propre de u associé à lambda1 alors u(x1)=lambda1*x1 (par définition). Et c'est pareil pour x2. A partir de là tu peux conclure je crois.
je crois avoir la réponse.
u(x) = alpha*lamba1*x1+beta*lambda2*x 2
et donc u(x) appartient à vect(x1,x2).
et donc vect(x1,x2) est stable par u.
C'est bien ça !
