Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

[invite71aa5c98]

bonsoir;

on ma demandé dans un problem de :

En appliquant le théoréme des inégalité des accroissement finis à la fonction Log à lintervalle [1, 1+a], établir que

a/(1+a) < Log(1+a) < a

avec (a >0)
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[invite7553e94d]

Bonsoir.
Que dis le théorème de l'inégalité des accroissements finis (TAF pour les intimes) ?

[invite71aa5c98]

Bonsoir.
Que dis le théorème de l'inégalité des accroissements finis (TAF pour les intimes) ?

soit f une fonction continue sur un intervalle dermé borné [a,b] (a<b), dérivable sur ]a,b[
on suppose qu'il existe deux réels m et M tels que:

m<f^' (x) < M
on a alors m< f(b) - f(a) / (b-a) < M ;

mais, j'ai pas su comment l'utilisé dans ce cas!! merci

[invited7005a5b]

C'est bien le TAF;maintenant essaie d'encadrer log(1+a) sur l'intervalle[1;1+a]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7553e94d]

C'est une version valable pour cette exercice.

1\ vérifier les hypothèses :
f = ln est-elle continue et bornée sur [1;1+a] ? Dérivable sur ]1;1+a[ ? Que vaut sa dérivée ?

2\ trouver m et M (toute la difficulté réside ici, il faut prendre les bonnes valeurs)
Pour cela, tu sais que

3\ Utiliser la conclusion du théorème

4\ Modifier cette conclusion pour arriver à tes fin

Bonne chance.

[invite71aa5c98]

C'est bien le TAF;maintenant essaie d'encadrer log(1+a) sur l'intervalle[1;1+a]

le problem c'est que j'ai pas un encadrement de Log(1+a)

ce que je sais, c'est que Log(1+a) > 0


ou bien, est ce que je dois prendre 0 < a < a+1 ?

[invite9c9b9968]

Ce pourrait être une bonne idée en effet

A noter : c'est le théorème des acroissements finis, pas le théorème de l'inégalité des accroissements finis.

En effet, de ce théorème découle l'inégalité des acroissements finis.

[invite71aa5c98]

Ce pourrait être une bonne idée en effet

A noter : c'est le théorème des acroissements finis, pas le théorème de l'inégalité des accroissements finis.

En effet, de ce théorème découle l'inégalité des acroissements finis.

aprés, si je ferai un encadrement de Log(a+1), j'aurai 0 < Log(a+1) < Log (a+2)

je croi qu'on a rien fait comme ça!!

[invite9c9b9968]

L'encadrement doit se faire sur la dérivée de log, pas sur log...

Relis bien le théorème des accroissements finis !

[invited7005a5b]

En fait la difficulté est d'encadrer la dérivée de f; pour indice ton intervalle est [1;1+a], donc si x est dans cette intervalle tu as 1<x<1+a. Ces inégalités impliquent 1/(1+a)<1/x<1. Maintenant tu as un encadrement de la derivée de Log(x);integre chaque terme dans l'encadrement precedent sur l'intervalle convenable (evident ici et que j'ai deja cité). Je te laisse poursuivre.

[invite71aa5c98]

L'encadrement doit se faire sur la dérivée de log, pas sur log...

Relis bien le théorème des accroissements finis !

c'est ça le problem, dérivé de Log de quoi?

[invite9c9b9968]

relis l'énoncé... J'ai l'impression que tu n'as pris le temps de bien le lire et de bien l'analyser

[invite71aa5c98]

ah oui,

1/(1+a)<1/x<1

==> 1/(1+a)<Log(1+a) - Log(1) / a <1

==> a/(1+a)<Log(1+a) < a

vriament, merci beaucoup pour votre aide, sa été dur pour moi! dommage que des choses pareil me bloque!

[invite9c9b9968]

Voilà

Pour être parfaitement rigoureux, il te faut bien montrer que la fonction log est continue sur [1;1+a] et dérivable sur ]1;1+a[

[invite35452583]

Ce pourrait être une bonne idée en effet

A noter : c'est le théorème des acroissements finis, pas le théorème de l'inégalité des accroissements finis.

En effet, de ce théorème découle l'inégalité des acroissements finis.

A noter : le TAF donne en conclusion une égalité (j'ai vérifié sur wiki)

[invitea7fcfc37]

Bonjour,

Mon message ne sert strictement à rien mais le TAF, c'est du Sup non ? J'ai un doute d'un coup..

[invite4b9cdbca]

Bonjour,

Mon message ne sert strictement à rien mais le TAF, c'est du Sup non ? J'ai un doute d'un coup..

Il me semble que je l'ai vu en termS, mais c'était peut-être du hors programme.
Il faudrait se procurer la liste des ROCs pour le bac...

[invite7553e94d]

Coucou.
Une petite erreur : pour l'encadrement de la dérivée de log, il s'agit d'inégalités larges (supérieur ou égal). Deplus, tu as oublié de justifier l'emploi de ce théorème (hypothèses : continuité, dérivabilité).

[invitef7cb9c5c]

Bonsoir,
il faut que je commence en disant que a est dans un ouvert de l'espace de départ de f_n
soit (f_n) une suite de fonction
estce que je peux poser g tel que g=f_p-f_q
afin d'appliqué l'inégalité des accroissements finis
llg(b)-g(a)ll<= sup lldg(x)ll llb-all avec x dans ]a,b[
qui s'écrit alors llf_p(b)-f_p(a)-f_q(b)+f_q(a)ll <= sup lld(f_p-f_q)(x)ll llb-all

alors pourquoi (f_n(b))n est de cauchy, j'aurai dit que c'est (f_n(b)) est de Cauchy par définition
je m'y perds entre (f_n) (c'est une suite? et (f_n)_n c'est une suite de suite ???

Enfin comme on nous dit que (f_n(a))n converge, on en déduit que (f_n)n converge

pourquoi si llb-all est borné, la convergence de (f_n)n est uniforme?

bon ça fait beaucoup de questions...
c'est bien brouillon tout ça, c'est pour ça que je vous demande vos éclaircissements

fifrelette