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Théorème de l'inégalité des accroissements finis !



  1. #1
    DIABLOAMG

    Théorème de l'inégalité des accroissements finis !


    ------

    bonsoir;

    on ma demandé dans un problem de :

    En appliquant le théoréme des inégalité des accroissement finis à la fonction Log à lintervalle [1, 1+a], établir que

    a/(1+a) < Log(1+a) < a

    avec (a >0)

    -----

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  3. #2
    prgasp77

    Re : THépréme de l'inegalité des accroissement fini!!!

    Bonsoir.
    Que dis le théorème de l'inégalité des accroissements finis (TAF pour les intimes) ?

  4. #3
    DIABLOAMG

    Re : THéoréme de l'inegalité des accroissement fini!!!

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    Bonsoir.
    Que dis le théorème de l'inégalité des accroissements finis (TAF pour les intimes) ?


    soit f une fonction continue sur un intervalle dermé borné [a,b] (a<b), dérivable sur ]a,b[
    on suppose qu'il existe deux réels m et M tels que:

    m<f' (x) < M
    on a alors m< f(b) - f(a) / (b-a) < M ;

    mais, j'ai pas su comment l'utilisé dans ce cas!! merci

  5. #4
    El Matador

    Re : THéoréme de l'inegalité des accroissement fini!!!

    C'est bien le TAF;maintenant essaie d'encadrer log(1+a) sur l'intervalle[1;1+a]

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    prgasp77

    Re : THépréme de l'inegalité des accroissement fini!!!

    C'est une version valable pour cette exercice.

    1\ vérifier les hypothèses :
    f = ln est-elle continue et bornée sur [1;1+a] ? Dérivable sur ]1;1+a[ ? Que vaut sa dérivée ?

    2\ trouver m et M (toute la difficulté réside ici, il faut prendre les bonnes valeurs)
    Pour cela, tu sais que

    3\ Utiliser la conclusion du théorème

    4\ Modifier cette conclusion pour arriver à tes fin

    Bonne chance.

  8. #6
    DIABLOAMG

    Re : THéoréme de l'inegalité des accroissement fini!!!

    Citation Envoyé par manu tabeko Voir le message
    C'est bien le TAF;maintenant essaie d'encadrer log(1+a) sur l'intervalle[1;1+a]
    le problem c'est que j'ai pas un encadrement de Log(1+a)

    ce que je sais, c'est que Log(1+a) > 0


    ou bien, est ce que je dois prendre 0 < a < a+1 ?
    Dernière modification par DIABLOAMG ; 23/05/2007 à 00h50.

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  10. #7
    Gwyddon

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    Ce pourrait être une bonne idée en effet

    A noter : c'est le théorème des acroissements finis, pas le théorème de l'inégalité des accroissements finis.

    En effet, de ce théorème découle l'inégalité des acroissements finis.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #8
    DIABLOAMG

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Ce pourrait être une bonne idée en effet

    A noter : c'est le théorème des acroissements finis, pas le théorème de l'inégalité des accroissements finis.

    En effet, de ce théorème découle l'inégalité des acroissements finis.


    aprés, si je ferai un encadrement de Log(a+1), j'aurai 0 < Log(a+1) < Log (a+2)

    je croi qu'on a rien fait comme ça!!

  12. #9
    Gwyddon

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    L'encadrement doit se faire sur la dérivée de log, pas sur log...

    Relis bien le théorème des accroissements finis !
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  13. #10
    El Matador

    Re : THéoréme de l'inegalité des accroissement fini!!!

    En fait la difficulté est d'encadrer la dérivée de f; pour indice ton intervalle est [1;1+a], donc si x est dans cette intervalle tu as 1<x<1+a. Ces inégalités impliquent 1/(1+a)<1/x<1. Maintenant tu as un encadrement de la derivée de Log(x);integre chaque terme dans l'encadrement precedent sur l'intervalle convenable (evident ici et que j'ai deja cité). Je te laisse poursuivre.

  14. #11
    DIABLOAMG

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    L'encadrement doit se faire sur la dérivée de log, pas sur log...

    Relis bien le théorème des accroissements finis !
    c'est ça le problem, dérivé de Log de quoi?

  15. #12
    Gwyddon

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    relis l'énoncé... J'ai l'impression que tu n'as pris le temps de bien le lire et de bien l'analyser
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  17. #13
    DIABLOAMG

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    ah oui,

    1/(1+a)<1/x<1

    ==> 1/(1+a)<Log(1+a) - Log(1) / a <1

    ==> a/(1+a)<Log(1+a) < a

    vriament, merci beaucoup pour votre aide, sa été dur pour moi! dommage que des choses pareil me bloque!

  18. #14
    Gwyddon

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    Voilà

    Pour être parfaitement rigoureux, il te faut bien montrer que la fonction log est continue sur [1;1+a] et dérivable sur ]1;1+a[
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  19. #15
    homotopie

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Ce pourrait être une bonne idée en effet

    A noter : c'est le théorème des acroissements finis, pas le théorème de l'inégalité des accroissements finis.

    En effet, de ce théorème découle l'inégalité des acroissements finis.
    A noter : le TAF donne en conclusion une égalité (j'ai vérifié sur wiki)

  20. #16
    kNz

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    Bonjour,

    Mon message ne sert strictement à rien mais le TAF, c'est du Sup non ? J'ai un doute d'un coup..

  21. #17
    kron

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Bonjour,

    Mon message ne sert strictement à rien mais le TAF, c'est du Sup non ? J'ai un doute d'un coup..
    Il me semble que je l'ai vu en termS, mais c'était peut-être du hors programme.
    Il faudrait se procurer la liste des ROCs pour le bac...
    Life is music !

  22. #18
    prgasp77

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    Coucou.
    Une petite erreur : pour l'encadrement de la dérivée de log, il s'agit d'inégalités larges (supérieur ou égal). Deplus, tu as oublié de justifier l'emploi de ce théorème (hypothèses : continuité, dérivabilité).

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  24. #19
    fifrelette

    Re : Théorème de l'inégalité des accroissements finis !

    Bonsoir,
    il faut que je commence en disant que a est dans un ouvert de l'espace de départ de fn
    soit (fn) une suite de fonction
    estce que je peux poser g tel que g=fp-fq
    afin d'appliqué l'inégalité des accroissements finis
    llg(b)-g(a)ll<= sup lldg(x)ll llb-all avec x dans ]a,b[
    qui s'écrit alors llfp(b)-fp(a)-fq(b)+fq(a)ll <= sup lld(fp-fq)(x)ll llb-all

    alors pourquoi (fn(b))n est de cauchy, j'aurai dit que c'est (fn(b)) est de Cauchy par définition
    je m'y perds entre (fn) (c'est une suite? et (fn)n c'est une suite de suite ???

    Enfin comme on nous dit que (fn(a))n converge, on en déduit que (fn)n converge

    pourquoi si llb-all est borné, la convergence de (fn)n est uniforme?

    bon ça fait beaucoup de questions...
    c'est bien brouillon tout ça, c'est pour ça que je vous demande vos éclaircissements

    fifrelette
    Dernière modification par fifrelette ; 03/12/2012 à 21h10.

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