Sous espace vectoriel et applications linéaires ( PCSI)

[invitebdd9f800]

Bonjour tout le monde !
Alors, j'espère que quelqu'un pourra m'aider, parce que cette question bloque tout le reste de mon DL ....

Donc, soit E un R-espace vectoriel, et I=Id_E.
Soient f un endomorphisme de E, a et b deux réels distincts tels que


On pose :
F_a=Ker (f-aI) et F_b= Ker(f-bI)

1) montrer les inclusions : Im (f-bI) inclus dans F_a et Im(f-aI) inclus dans F_b

Bon ça j'ai réussi à faire ...

2)Démontrer que F_a et F_b sont des sous espaces vectoriels supplémentaires et expliciter la décomposition.

Alors voilà ! Donc ce que j'ai fait :

Soit z appartenant à F_a+F_b

Analyse: on suppose qu'il existe un unique x appartenant à F_aet un unique y appartenant à F_b tels que:

z=x+y

Comme x appartient à F_a donc (f-aI)(x)=0
Comme y appartient à F_b donc (f-bI)(y)=0

En composant par f-aI: on obtient ( f-aI)(z)=(f-aI)(y)
En composant par f-bI: on obtient (f -bI)(z)= ( f-bI) (x)

donc en suite j'en déduit que comme (f-aI)(y) appartient Im ( f-aI) donc à F_b donc (f-aI)(z) appartient à F_b
Idem pour l'autre : (f-bI)(z) appartient à F_a

Voilà c'est tout ce que j'ai fait... mais je ne vois pas comment avancer maintenant, ni comment trouver la décomposition ... parce que même si (f-aI)(z) et (f-bI)(z) appartiennent aux deux ensembles .... ben je vois pas trop quoi en faire avec la décomposition ...

J'espère que vous pourrez m'aider !!
Merci d'avance à tous ceux qui répondrons !!
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[indian58]

Tu vas en fait "diagonaliser" f i.e. trouver une base de E telle que f soit diagonale dans cette base; en d'autres termes, il existe (e1,...) base de E et a1,... des réels tels que pour tout x de E, x=x1e1+..., alors f(x) = x1l1e1+....
.
Pour celà, tu vas montrer que E=Somme directe de Fa et Fb et tu en déduiras le résultat annoncé ci-dessus.

[invitebdd9f800]

Euh... désolé indian58 mais je comprends pas trop ce que tu veux dire, en fait une base c'est comme une partie génératrice? et les e1.... je les trouve comment ?

désolééé !! c'est peut être simple mais je comprends pas
Je crois que j'ai pas vu encore cette partie du programme ...

Merci quand même d'avoir répondu !

[invite4fbb3489]

La diagonalisation est au programme de deuxième année, mais de toute façon tu n'en as pas besoin pour résoudre la question.
Déjà tu as fait quelques erreurs de raisonnement.
Tu veux montrer que tout vecteur de E s'écrit de façon unique comme somme d'un élément de Fa et d'un élément de Fb.
Pour ça tu prends z dans E (et non pas dans Fa+Fb) et tu supposes qu'il existe x dans Fa et y dans Fb (mais pas uniques, l'unicité est justement ce que tu vas montrer : s'ils existent c'est nécessairement ceux que tu vas trouver) tels que z=x+y.

Après ça, il ne te reste qu'à appliquer f à la décomposition. Tu as lors
f(z)=ax+by et tu résouds ton système (sachant que f(z) est une donnée du problème) !
(tu trouves x et y en fonction de a,b,z et f(z))
En suite tu n'as plus qu'à vérifier que ça marche (pour la synthèse qui te prouveras l'existence).

Je pense que tu as tout simplement voulu chercher un peu trop compliqué. Souvent quand on tu as un pb avec des vecteurs et une application linéaire, appliquer bêtement cette application aux vecteurs et voir ce qui se passe peut tout régler.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebdd9f800]

En fait , on fait f(z)=f(x)+f(y) car f est une application linéaire

on a f(x)=(aI)(x)=ax car x appartient à F_a
idem pour f(y)= by

f(z)= ax +by et z=x+y
et ensuite on fait le système ...

d'accord !!! j'ai compris ! je vais essayer ! merci beaucoup Zébule, je crois que tu as raison j'ai cherché beaucoup trop compliqué !!

Merci à tous les deux !!!

[invite4fbb3489]

Voilà t'as tout compris et de rien