Bonjour,
Je suis actuellement en 1ere année de mathématiques et j'ai trouvé sur un bouquin l'exo suivant. Je n'arrive pas à le résoudre, merci de bien vouloir m'aider.
exercice:
Démontrer que les sous-groupes de Z/nZ correspondent biunivoquement aux sous-groupes kZ de Z, avec k>0 divisant n.
kZ n'est pas un sous groupe pour la multiplication : quel est l'inverse de 2 dans 2Z ?
Merci de ta réponse mais je ne vois pas en quoi cela me permet de résoudre mon exercice.
On parle de sous groupes additifs, ici, c'est à dire que l'on travaille avec la loi +...
On te demande, en gros, de montrer l'existence d'une sorte de "bijection" entre les sous groupes de Z/nZ et les kZ, k divisant n...
Soit k divisant n. montrer que kZ/nZ est un sous groupe de Z/nZ n'est pas très dur...
L'autre sens par contre me pose probleme aussi
Pour k divisant n, Z/nZ a qu'un seul sous groupe d'ordre k : Montrer que c'est l'ensemble des elements dont l'ordre divise k.
Tout d'abord merci pour vos réponses, elles m'ont été fortement utiles. Cependant en posant:
comme groupe G : Z
comme sous groupe de G :H=nZ (=>nZ est inclu strictement dans Z)
comme projection canonique : Pi : kZ->kZ/nZ
je prouve que Pi induit une correspondance biunivoque entre les sous groupes de G contenant H et les sous groupes de G/H ie entre les sous groupes de kZ et les sous groupes de kZ/nZ . Mais je n'ai pas :
une correspondance entre les sous groupes de kZ et les sous groupes de Z/nZ .
Pourriez vous m'aider
Montrer que les seuls sous groupes de Z/nZ sont les groupes kZ/nZ...
J'ai pas essayé, est-ce tellement différent que montrer que les sous groupes de Z sous les kZ ?
j'ai trouvé une propriété disant que si K est un sous groupe de G alors HK est un sous groupe de G contenant H et Pi(K)=HK/H.
Mais en prenant comme dit plus haut :
H=nZ;G=Z;K=kZ; je ne vois pas ce que me donne HK/H alors que cela pourrait sembler évident (et doit l'être !!).
personne ne peut me dire que vaut HK/H ?
