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sous groupes de groupes cycliques



  1. #1
    lutece45

    sous groupes de groupes cycliques


    ------

    Bonjour,
    Je suis actuellement en 1ere année de mathématiques et j'ai trouvé sur un bouquin l'exo suivant. Je n'arrive pas à le résoudre, merci de bien vouloir m'aider.
    exercice:
    Démontrer que les sous-groupes de Z/nZ correspondent biunivoquement aux sous-groupes kZ de Z, avec k>0 divisant n.

    -----

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  3. #2
    ericcc

    Re : sous groupes de groupes cycliques

    kZ n'est pas un sous groupe pour la multiplication : quel est l'inverse de 2 dans 2Z ?

  4. #3
    lutece45

    Re : sous groupes de groupes cycliques

    Merci de ta réponse mais je ne vois pas en quoi cela me permet de résoudre mon exercice.

  5. #4
    Djeordjes

    Re : sous groupes de groupes cycliques

    On parle de sous groupes additifs, ici, c'est à dire que l'on travaille avec la loi +...

    On te demande, en gros, de montrer l'existence d'une sorte de "bijection" entre les sous groupes de Z/nZ et les kZ, k divisant n...


    Soit k divisant n. montrer que kZ/nZ est un sous groupe de Z/nZ n'est pas très dur...

    L'autre sens par contre me pose probleme aussi

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Garnet

    Re : sous groupes de groupes cycliques

    Pour k divisant n, Z/nZ a qu'un seul sous groupe d'ordre k : Montrer que c'est l'ensemble des elements dont l'ordre divise k.

  8. #6
    lutece45

    Re : sous groupes de groupes cycliques

    Tout d'abord merci pour vos réponses, elles m'ont été fortement utiles. Cependant en posant:

    comme groupe G : Z
    comme sous groupe de G :H=nZ (=>nZ est inclu strictement dans Z)
    comme projection canonique : Pi : kZ->kZ/nZ

    je prouve que Pi induit une correspondance biunivoque entre les sous groupes de G contenant H et les sous groupes de G/H ie entre les sous groupes de kZ et les sous groupes de kZ/nZ . Mais je n'ai pas :
    une correspondance entre les sous groupes de kZ et les sous groupes de Z/nZ .
    Pourriez vous m'aider

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  10. #7
    Djeordjes

    Re : sous groupes de groupes cycliques

    Montrer que les seuls sous groupes de Z/nZ sont les groupes kZ/nZ...

    J'ai pas essayé, est-ce tellement différent que montrer que les sous groupes de Z sous les kZ ?

  11. #8
    lutece45

    Re : sous groupes de groupes cycliques

    j'ai trouvé une propriété disant que si K est un sous groupe de G alors HK est un sous groupe de G contenant H et Pi(K)=HK/H.
    Mais en prenant comme dit plus haut :
    H=nZ;G=Z;K=kZ; je ne vois pas ce que me donne HK/H alors que cela pourrait sembler évident (et doit l'être !!).

  12. #9
    lutece45

    Re : sous groupes de groupes cycliques

    personne ne peut me dire que vaut HK/H ?

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