Exercice d'algèbre
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Exercice d'algèbre



  1. #1
    Hikari-sora

    Exercice d'algèbre


    ------

    Bonsoir,
    Quelqu'un peut il m'aider a résoudre l'exercice suivant?

    E est l'espace vectoriel R3 rapporté à une base (e1,e2,e3), et f est l'endormorphisme représenté dans cette base par la matrice:

    (4,-1,5)
    (-2,-1,-1)
    (-4,1,-5)

    La question, c'est, après avoir déterminé des bases de Ker(f) et Im(f) (ça je l'ai déja fait, pour ker(f), la base ne contient qu'un vecteur, pour Im(f), deux), il faut prouver que E=Ker(f)(+)Im(f).
    Mais je vois pas comment!
    merci de votre aide.

    -----
    Je marche seul sur la route des promesses oubliées...

  2. #2
    lapin savant

    Re : exercice d'algèbre

    Salut,
    tu dois décomposer un élément sur et pour montrer que .
    Ensuite tu montres que pour conclure que .

  3. #3
    inviteddee8d61

    Re : exercice d'algèbre

    Citation Envoyé par lapin savant Voir le message
    Salut,
    tu dois décomposer un élément sur et pour montrer que .
    Ensuite tu montres que pour conclure que .
    Il a déjà montré que.
    Il peut donc se contenter de démontrer que pour conclure (et non = l'ensemble vide )

  4. #4
    lapin savant

    Re : exercice d'algèbre

    Citation Envoyé par Hikari-sora Voir le message
    La question, c'est, après avoir déterminé des bases de Ker(f) et Im(f) (ça je l'ai déja fait, pour ker(f), la base ne contient qu'un vecteur, pour Im(f), deux)
    Oui c vrai je n'avais pas fait attention........il ne manque que la somme directe.
    Et encore oui, ce n'est pas l'ensemble vide (décidément, suis plus en forme moi ).

    Merci pour la correction.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Hikari-sora

    Re : exercice d'algèbre

    Bonsoir!
    Déja, merci pour vos réponses. Mais... bon en fait, j'aurais du préciser un peu ma question: le probleme, c'est justement de montrer que cette intersection est égale à 0... En n'ayant que les bases et la matrice. Je suppose qu'il faut prendre un vecteur appartenant à cette intersection. Je peux l'exprimer grâce à la base de Ker(f)... Mais je ne sais pas trop comment l'exprimer avec la base de Im(f), qui contient deux vecteurs. ^^; en fait, Im(f) est de la forme vect ((a,b,c),(d,e,f)). Donc x= u(a,b,c)+v(d,e,f)= (ua+vd,ub+ve,uc+vf)? et je dois montrer que ces trois éléments sont nuls?
    Merci pour vos réponses
    Bonne soirée!
    Je marche seul sur la route des promesses oubliées...

  7. #6
    thepasboss

    Re : exercice d'algèbre

    Bonjour,

    on appelle a et b les vecteurs de la base de im(f) que tu as choisit et c le vecteur de la base de ker(f) que tu as pris.

    Ensuite on prend v dans l'intersection. Donc il existe A,B et C des réels tels que v=A*a + B*b = C*c et donc A*a + B*b - C*c = 0. Donc si tu as précédemment montré que la famille (a,b,c) était libre c'est bon, tu as gagné ^^

  8. #7
    Hikari-sora

    Re : exercice d'algèbre

    =) ah, pas bête...
    Merci beaucoup, vais pouvoir continuer mon exercice! ^^
    Bonne soirée!
    Je marche seul sur la route des promesses oubliées...

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