Dérivabilité, équivalence et développement limité

[invite3c444e00]

Bonjour je viens de commencer un de mes exos sur la dérivabilité et les développement limité et j'ai quelques doutes pour avancer ; j'espère que vous pourrez m'en dire quelque chose :

Voici l'énoncé:
Etudier la fonction f définie par:
1.domaine de définition,continuité,dérivabi lité
2.Etudier la branche infinie
3Etudier ses variations et tracer la courbe représentative.

Ce que j'ai dit
1.
-1<arcos(x)<1 or d'où

J'en déduis qu'il faut ensuite étudier la continuité et la dérivabilité de f aux bornes de son domaine de définition:
soit en , -1, 1, et
Je compte en fait me servir des 2 propriétés suivantes sur les développement limité:
1) f admet un DLn(f,a); et f est définie en a f est continue en a
2) f admet un DLn(f,a) et n; f est définie en a f est dérivable en a
J effectue un DL2(f;)

-On pose
-
-On pose





or

J'ai bien entendu poursuivi et je vous demande de me dire si d'après vous je suis sur la bonne piste, si il y a d'éventuels erreurs, je n'ai pas envie de continuer sur quelque chose de faux, je vous remercie.
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[invite3c444e00]

quelqu'un peut il me répondre svp

[invite3c444e00]

excusez moi pour e que j'ai dit au début

si -1<arccos(x)<1 alors -infini<arccos(1/x)<+infini

[invite57a1e779]

J'avoue ne pas comprendre ton calcul pour l'ensemble de définition.

Tu devrais trouver .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c444e00]

merci, en effet je m'étais un peu embrouiller:
normalement ce que je vais dire là est juste
on a:
-arccos définie sur [-1;1] et
-quand x tend vers 0+ ou 0- on a 1/x tend vers +ou-infini
-donc quand x tend vers 0+ ou 0- on a arccos(1/x) tend vers
+ou-infini.
d'où le domaine de définition (ici noté "Df") de f(x)=(x-1/2)arccos(1/x):
Df=.

Aussi est ce que tu peu me dire si je procède de la bonne manière pour avoir un développement limité à l'ordre 2 de f en + l'infini(ici noté DL2(f;+).

[invite3c444e00]

voire dans mon premier message j'ai commencer d'effectuer un DL2(f;-infini).

[invite57a1e779]

on a:
-arccos définie sur [-1;1]

est défini pour , donc est défini pour , c'est-à-dire...

Puisque est toujours défini, il n'y a rien d'autre à dire, et surtout il n'y a pas à faire intervenir de limites dans la détermination du domaine de définition.

[invitef9f95d1e]

Pour tes domaines de derivabilité et de continuité, tu devrais plutot voire ta fonction comme produit et composée de fonctionc derivables, ca ira plus vite.
Pour la branche infinie, tu fais comme pour une courbe classique avec f(x)/x a linfini etc.
Quant aux variations, une etude de la derivée devrait faire l'affaire. Peut-etre que la derivée premiere ne suffira pas et qu'il faudra creuser a la derivée seconde vu le arccos.

[invite3c444e00]

merci entendu Nailuree

Pour ce qui est du domaine de définition de f(x):

arcos(X)

1/x U

d'où arcos(1/x) U

[invite3c444e00]

DSL encore une faute à la place du symbole dans mon précédent message il faut qu'il y est "définie sur".

[invite3c444e00]

pouvez vous juste me corrigez svp?

[invitef9f95d1e]

Oui c'est ca pour signaler ta fonction mets plutot x->1/x plutot que 1/x tout seul.

[invite3c444e00]

Pour tes domaines de derivabilité et de continuité, tu devrais plutot voire ta fonction comme produit et composée de fonctionc derivables, ca ira plus vite.

Plus vite...c'est vite dit je ne vois pas comment faire avec cette méthode là.

[invite3c444e00]

en tout cas à priori dans cet exo on ne eut pas utiliser Taylor-Young.