Développement limité...

[invite2354a0f1]

Bonjour,

En faisant mes calculs avec un développement limité, je tombe sur une absurdité mais je ne trouve pas l'erreur...

On a l'équation suivante : Vb² - Va² = 2gh avec Vb la vitesse en b, Va la vitesse en a. Il se trouve que Va<<Vb, donc on écrit plutôt :
Vb²-Va² = (Vb-Va)(Vb+Va) = Vb (1-Va/Vb) Vb (1 + Va/Vb) = Vb² (1-Va/Vb) (1 + Va/Vb).
Je pourrais à ce niveau là dire tout simplement que (1-Va/Vb) (1 + Va/Vb) = 1 - (Va/Vb)², et à ce moment là il n'y aurait pas de problème. Mais si je ne le fais pas, et que je continue mes calculs :

Vb² - Va² = Vb² [1 - Va/Vb][1 + Va/Vb] = 2gH
soit : Vb² = 2gH / [ (1 - Va/Vb)(1+ Va/Vb) ]
Vb² = 2gH * [1 - Va/Vb]^(-1) * [1+ Va/Vb]^(-1)

Si je procède maintenant à un développement limité, avec (1+x)^n = 1 + nx lorsque x tend vers 0, j'obtiens :

Vb² = 2gH * [1 + Va/Vb] * [1- Va/Vb]

Si je continue plus loin, j'ai :
Vb²= 2gH (1 - (Va/Vb)²) soit Vb= racine de 2gH * (1 - (Va/Vb)²)^(1/2) = racine de 2gH * (1 - (Va/Vb²)/2) (désolée, j'aurais bien aimer l'écrire en mathtype ou un truc comme ça mais je sais pas du tout comment on fait ça sur le forum...), alors qu'il fallait trouver Vb= racine de 2gH * (1 + (Va/Vb²)/2).

Je crois que l'erreur vient de l'absurdité que j'ai écrite plus haut :

Vb² = 2gH / [ (1 - Va/Vb)(1+ Va/Vb) ]
Vb² = 2gH * [1 + Va/Vb] * [1- Va/Vb]

ce qui reviendrait à dire que 1/(1-x²) = 1-x²... mais je ne vois pas du tout où peut se trouver l'erreur, est ce que c'est parce qu'on a pas le droit de faire de développement limité à ce niveau là ?
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Vb² = 2gH * [1 - Va/Vb]^(-1) * [1+ Va/Vb]^(-1)

Si je procède maintenant à un développement limité, avec (1+x)^n = 1 + nx lorsque x tend vers 0, j'obtiens :

Vb² = 2gH * [1 + Va/Vb] * [1- Va/Vb]

Pour obtenir un développement limité à l'ordre deux en de il faut faire un développement limité à l'ordre deux de et de :

Ensuite on développe en ne conservant que les termes de degré au plus deux :

et l'on retombe bien sur nos pattes.

[invite2354a0f1]

Merci Flyingsquirrel pour la réponse, mais est ce que ça signifie que je n'ai pas le droit de faire directement un développement limité à l'ordre 1 arrivé à cette étape là ? Enfin, je vois qu'en faisant un développement limité d'ordre 2 ça marche, mais pourquoi un développement limité d'ordre 1 est faux si, dans le raisonnement où je passe directement à la forme (1-Va/Vb) (1 + Va/Vb) = 1 - (Va/Vb)², on n'a à aucun moment besoin de passer à un développement à l'ordre 2 ?

Désolée si mes questions sont un peu lourdes, mais en fait je veux juste savoir quand il faut savoir que l'on doit passer à l'ordre 2, parce que le jour du concours, devant ce développement limité, je n'aurais jamais vu la petite subtilité et j'aurais fait tous mes calculs avec erreur de signe ^^'

[Flyingsquirrel]

pourquoi un développement limité d'ordre 1 est faux si, dans le raisonnement où je passe directement à la forme (1-Va/Vb) (1 + Va/Vb) = 1 - (Va/Vb)², on n'a à aucun moment besoin de passer à un développement à l'ordre 2 ?

(je pose )
Le résultat que tu obtiens est faux parce que tu ne tiens pas compte des « petits o ». Quand tu écris il faudrait en fait écrire ce qui donne

On ne peut rien déduire d'autre du produit des développements limités à l'ordre 1.

dans le raisonnement où je passe directement à la forme (1-Va/Vb) (1 + Va/Vb) = 1 - (Va/Vb)², on n'a à aucun moment besoin de passer à un développement à l'ordre 2 ?

Quand tu écris tu fais un développement limité à l'ordre 1 en c'est-à-dire à l'ordre 2 en .

je veux juste savoir quand il faut savoir que l'on doit passer à l'ordre 2

Pour le voir on peut regarder ce qui se passe si l'on fait le développement limité de à l'ordre et celui de à l'ordre :

Si l'on fait le produit de ces expressions, on constate que les « petits o » interviennent dans trois termes :

Pour obtenir un développement limité du produit à l'ordre 2 (c-à-d et ), il suffit donc de prendre .

[A voir en vidéo sur Futura]