développement limité

**Eunike06** · 28/05/2007, 15h53

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider à résoudre ce problème ???

Quel est le développement limité de
(1+x)^mau voisinage de x=0 ?

Calcul des 4 premiers termes et généralisation de l'expression obtenue au terme de rang n.

En déduire le développement limité de (1-x)^m

D'avance merci

**ericcc** · 28/05/2007, 16h02

Que sais tu des développements limités ? Sais tu développer (1+x)^m avec le binôme de Newton ?

**Eunike06** · 28/05/2007, 16h16

Envoyé par ericcc

Que sais tu des développements limités ? Sais tu développer (1+x)^m avec le binôme de Newton ?

Je ne connais pas le binôme de Newton...
Pour le moment j'ai réussi à calculer les 4 premiers termes :

f^x=(1+x)^m f(0)=1^m

f'(x)=m(1+x)^m-1 f'(0)=m^m-1

f"(x)=m²(1+x)^m-2
f"(0)=(m²)^m-2

f'''...

Ce début est-il bon ???

invitec053041c · 28/05/2007, 16h48

Il ne faut pas utiliser le binôme de newton car à priori, m n'est pas entier.

Regarde les dérivées successives de ton expression et essaye de trouver une récurrence (il y a des factorielles qui sortent avec l'exposant qui descend à chaque fois).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**ericcc** · 28/05/2007, 16h52

Attention l'expression de la dérivée première est bonne, mais en x=0 la valeur est fausse : f'(0)=m(1+0)^m-1=m

Par contre tu t'es trompée pour la valeur de la dérivée seconde : [m(1+x)^m-1]'=m[(1+x)^m-1]'=m(m-1)(1+x)^m-2
etc...

Ceci dit il est plus simple de développer (1+x)ⁿ par la formule du binôme de Newton, que tu trouveras dans tout bouquin de maths, ou sur le Net.

Pour Ledescat : ici le fait que le coefficient s'appelle m me fait supputer qu'il est entier. Cependant, on peut utiliser la formule du Binôme de Newton pour des coefficients non entiers...
voir ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%...%A9ralis%C3%A9.

**Deeprod** · 28/05/2007, 16h54

Normalement, c'est un developpement limité usuel. Donc soit tu as pas encore fait le cours et dans ce cas la suis les conseils de Ledescat. Sinon regarde le cours et tu as une formule "généralisant" le binome de Newton au exposant non entier.

Sinon fait attention à ce que tu écrit :

"f'(x)=m(1+x)^(m-1) f'(0)=m^(m-1)"

Ce qui doublement faux :
- Tu fait l'hypothese que m est entier
- Et aussi une faute d'étourderie pour f(0)

invitec053041c · 28/05/2007, 16h57

Envoyé par Deeprod

- Tu fait l'hypothese que m est entier

Non on a le droit de faire descendre l'exposant et de lui décrémenter 1 à l'exposant même lorsqu'il n'est pas entier, enfin théoriquement !

**ericcc** · 28/05/2007, 16h59

Deeprod, la formule de dérivation de x^r=rx^r-1 est valable pour tout x, qu'il soit entier, rationnel ou réel...

**Eunike06** · 28/05/2007, 17h09

[QUOTE=ericcc;1130349]Attention l'expression de la dérivée première est bonne, mais en x=0 la valeur est fausse : f'(0)=m(1+0)^m-1=m

Je ne comprend pas pourquoi f'(0) = m
si on remplace x par 0, on a f'(0)= m^m-1, non ?
m^m-1 c'est différent de m...

**Eunike06** · 28/05/2007, 17h11

réctification !!!
Je viens de refaire mon calcul et je trouve bien aussi f'(0) = m !!! désolé !!

**ericcc** · 28/05/2007, 17h11

OK mais tes dérivées suivantes sont fausses. Tu n'as pas répondu à la question : m est il entier ?

**Eunike06** · 28/05/2007, 17h25

Alors je viens de tout refaire. Je trouve:

f'(x) = m(1+x)^m-1 ---> f'(0)=m

f''(x)= m²-m (1-x)^m-2 ---> f''(0)= m²-m

f'''(x)=m³-3m²+2m (1-x)^m-3 ---> f'''(0)=m³-3m²+2m

f''''(x)=m⁴-6m³+8m²-6m (1-x)^m-4 ---> f''''(0)=m⁴-6m³+8m²-6m

Par contre, est ce que m est entier ??? je ne sais pas du tout !!!

**ericcc** · 28/05/2007, 17h30

C'est bon, mais garde l'expression m(m-1)(m-2)...c'est plus facile pour généraliser.

**Deeprod** · 28/05/2007, 17h55

Envoyé par ericcc

Deeprod, la formule de dérivation de x^r=rx^r-1 est valable pour tout x, qu'il soit entier, rationnel ou réel...

Arf oui bien sur, j'ai malheureusement reflechit trop vite et confondu "entier" et "constant", cad que la formule n'est pas utilisable pour dérivé a^x.
Mais de toute façon il y avait bien un exposant m, donc c'était évident que le terme était constant, j'ai pas d'excuse

(Surtout que je précise dans mon premier post que l'on peu "généraliser" la formule du binome de newton avec des non entiers)

Désolé

invitec053041c · 28/05/2007, 18h08

C'est pas grave deeprod

.
En fait pas besoin de tourner autour du pot 30 ans ,
Tu vois que $\text{[math]}$
Et sa valeur en 0 est $\text{[math]}$ .

Et la formule de taylor en 0 est:
$\text{[math]}$

Avec $\text{[math]}$ , donc tu remplaces

.

**Eunike06** · 28/05/2007, 18h08

Ensuite pour généraliser, c'est un tout autre problème !!!
J'ai retrouver une formule qui me dit:

f(x)= a_o+a₁(x-x_o)+...+ a_n(x-x_o)ⁿ+o(x-x_o)ⁿ

mais je ne la comprend pas ! est ce que :
a_o=1
a₁=m
x_o=0 ???
dur dur de se remettre aux maths !!!

invitec053041c · 28/05/2007, 18h10

Ici x0=0

, regarde ce que j'ai écrit avant avec la formule de Taylor-Young.

invitecd03f8f9 · 29/05/2007, 13h39

Envoyé par Ledescat

C'est pas grave deeprod

.
En fait pas besoin de tourner autour du pot 30 ans ,
Tu vois que $\text{[math]}$
Et sa valeur en 0 est $\text{[math]}$ .

Et la formule de taylor en 0 est:
$\text{[math]}$

Avec $\text{[math]}$ , donc tu remplaces

.

Ok, merci pour la formule. Donc si je comprend bien, on a:

$\text{[math]}$

Est ce que ça répond à l'énoncé de mon exo : on généralisera l'expression obtenue au terme de rang n. ??? Parce que pour moi, ça se rapproche plus du chinois !!!

**Eunike06** · 29/05/2007, 13h47

oups !! C'était moi aussi, juste avant !

Pour continuer l'exercice : "en déduire le developpement limité de (1-x)^m.
Si ce que j'ai fait au dessus est juste alors, on obtient:
$\text{[math]}$ C'est ça ???

invitec053041c · 29/05/2007, 16h00

Envoyé par Eunike06

oups !! C'était moi aussi, juste avant !

Pour continuer l'exercice : "en déduire le developpement limité de (1-x)^m.
Si ce que j'ai fait au dessus est juste alors, on obtient:
$\text{[math]}$ C'est ça ???

Si c'est bien ça, et la formule n'est pas du chinois, c'est juste un peu lourd

.
Sinon pour le (1-x)^m tu as raison, mais tu peux écrire o(x^n) et (-1)^k x^k, c'est plus joli

.

**Eunike06** · 29/05/2007, 16h54

Merci beaucoup ! Il me reste plus que 15 autres exercices à faire maintenant !!!

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