développement limité
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développement limité



  1. #1
    Eunike06

    développement limité


    ------

    Bonjour,

    Pourriez-vous m'aider à résoudre ce problème ???


    Quel est le développement limité de
    (1+x)mau voisinage de x=0 ?

    Calcul des 4 premiers termes et généralisation de l'expression obtenue au terme de rang n.

    En déduire le développement limité de (1-x)m

    D'avance merci

    -----

  2. #2
    ericcc

    Re : développement limité

    Que sais tu des développements limités ? Sais tu développer (1+x)m avec le binôme de Newton ?

  3. #3
    Eunike06

    Re : développement limité

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Que sais tu des développements limités ? Sais tu développer (1+x)m avec le binôme de Newton ?
    Je ne connais pas le binôme de Newton...
    Pour le moment j'ai réussi à calculer les 4 premiers termes :

    fx=(1+x)m f(0)=1m

    f'(x)=m(1+x)m-1 f'(0)=mm-1

    f"(x)=m2(1+x)m-2
    f"(0)=(m2)m-2

    f'''...

    Ce début est-il bon ???

  4. #4
    invitec053041c

    Re : développement limité

    Il ne faut pas utiliser le binôme de newton car à priori, m n'est pas entier.

    Regarde les dérivées successives de ton expression et essaye de trouver une récurrence (il y a des factorielles qui sortent avec l'exposant qui descend à chaque fois).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ericcc

    Re : développement limité

    Attention l'expression de la dérivée première est bonne, mais en x=0 la valeur est fausse : f'(0)=m(1+0)m-1=m

    Par contre tu t'es trompée pour la valeur de la dérivée seconde : [m(1+x)m-1]'=m[(1+x)m-1]'=m(m-1)(1+x)m-2
    etc...

    Ceci dit il est plus simple de développer (1+x)n par la formule du binôme de Newton, que tu trouveras dans tout bouquin de maths, ou sur le Net.

    Pour Ledescat : ici le fait que le coefficient s'appelle m me fait supputer qu'il est entier. Cependant, on peut utiliser la formule du Binôme de Newton pour des coefficients non entiers...
    voir ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%...%A9ralis%C3%A9.
    Dernière modification par ericcc ; 28/05/2007 à 17h55.

  7. #6
    Deeprod

    Re : développement limité

    Normalement, c'est un developpement limité usuel. Donc soit tu as pas encore fait le cours et dans ce cas la suis les conseils de Ledescat. Sinon regarde le cours et tu as une formule "généralisant" le binome de Newton au exposant non entier.

    Sinon fait attention à ce que tu écrit :

    "f'(x)=m(1+x)^(m-1) f'(0)=m^(m-1)"

    Ce qui doublement faux :
    - Tu fait l'hypothese que m est entier
    - Et aussi une faute d'étourderie pour f(0)
    Dernière modification par Deeprod ; 28/05/2007 à 17h55. Motif: Grillé :)

  8. #7
    invitec053041c

    Re : développement limité

    Citation Envoyé par Deeprod Voir le message
    - Tu fait l'hypothese que m est entier
    Non on a le droit de faire descendre l'exposant et de lui décrémenter 1 à l'exposant même lorsqu'il n'est pas entier, enfin théoriquement !

  9. #8
    ericcc

    Re : développement limité

    Deeprod, la formule de dérivation de xr=rxr-1 est valable pour tout x, qu'il soit entier, rationnel ou réel...

  10. #9
    Eunike06

    Re : développement limité

    [QUOTE=ericcc;1130349]Attention l'expression de la dérivée première est bonne, mais en x=0 la valeur est fausse : f'(0)=m(1+0)m-1=m


    Je ne comprend pas pourquoi f'(0) = m
    si on remplace x par 0, on a f'(0)= mm-1, non ?
    mm-1 c'est différent de m...

  11. #10
    Eunike06

    Re : développement limité

    réctification !!!
    Je viens de refaire mon calcul et je trouve bien aussi f'(0) = m !!! désolé !!

  12. #11
    ericcc

    Re : développement limité

    OK mais tes dérivées suivantes sont fausses. Tu n'as pas répondu à la question : m est il entier ?

  13. #12
    Eunike06

    Re : développement limité

    Alors je viens de tout refaire. Je trouve:

    f'(x) = m(1+x)m-1 ---> f'(0)=m

    f''(x)= m2-m (1-x)m-2 ---> f''(0)= m2-m

    f'''(x)=m3-3m2+2m (1-x)m-3 ---> f'''(0)=m3-3m2+2m

    f''''(x)=m4-6m3+8m2-6m (1-x)m-4 ---> f''''(0)=m4-6m3+8m2-6m

    Par contre, est ce que m est entier ??? je ne sais pas du tout !!!

  14. #13
    ericcc

    Re : développement limité

    C'est bon, mais garde l'expression m(m-1)(m-2)...c'est plus facile pour généraliser.

  15. #14
    Deeprod

    Unhappy Re : développement limité

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Deeprod, la formule de dérivation de xr=rxr-1 est valable pour tout x, qu'il soit entier, rationnel ou réel...
    Arf oui bien sur, j'ai malheureusement reflechit trop vite et confondu "entier" et "constant", cad que la formule n'est pas utilisable pour dérivé a^x.
    Mais de toute façon il y avait bien un exposant m, donc c'était évident que le terme était constant, j'ai pas d'excuse
    (Surtout que je précise dans mon premier post que l'on peu "généraliser" la formule du binome de newton avec des non entiers)

    Désolé

  16. #15
    invitec053041c

    Re : développement limité

    C'est pas grave deeprod .
    En fait pas besoin de tourner autour du pot 30 ans ,
    Tu vois que
    Et sa valeur en 0 est .

    Et la formule de taylor en 0 est:


    Avec , donc tu remplaces .

  17. #16
    Eunike06

    Re : développement limité

    Ensuite pour généraliser, c'est un tout autre problème !!!
    J'ai retrouver une formule qui me dit:

    f(x)= ao+a1(x-xo)+...+ an(x-xo)n+o(x-xo)n

    mais je ne la comprend pas ! est ce que :
    ao=1
    a1=m
    xo=0 ???
    dur dur de se remettre aux maths !!!

  18. #17
    invitec053041c

    Re : développement limité

    Ici x0=0 , regarde ce que j'ai écrit avant avec la formule de Taylor-Young.

  19. #18
    invitecd03f8f9

    Re : développement limité

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    C'est pas grave deeprod .
    En fait pas besoin de tourner autour du pot 30 ans ,
    Tu vois que
    Et sa valeur en 0 est .

    Et la formule de taylor en 0 est:


    Avec , donc tu remplaces .
    Ok, merci pour la formule. Donc si je comprend bien, on a:



    Est ce que ça répond à l'énoncé de mon exo : on généralisera l'expression obtenue au terme de rang n. ??? Parce que pour moi, ça se rapproche plus du chinois !!!

  20. #19
    Eunike06

    Re : développement limité

    oups !! C'était moi aussi, juste avant !

    Pour continuer l'exercice : "en déduire le developpement limité de (1-x)m.
    Si ce que j'ai fait au dessus est juste alors, on obtient:
    C'est ça ???

  21. #20
    invitec053041c

    Re : développement limité

    Citation Envoyé par Eunike06 Voir le message
    oups !! C'était moi aussi, juste avant !

    Pour continuer l'exercice : "en déduire le developpement limité de (1-x)m.
    Si ce que j'ai fait au dessus est juste alors, on obtient:
    C'est ça ???
    Si c'est bien ça, et la formule n'est pas du chinois, c'est juste un peu lourd .
    Sinon pour le (1-x)^m tu as raison, mais tu peux écrire o(x^n) et (-1)^k x^k, c'est plus joli .

  22. #21
    Eunike06

    Re : développement limité

    Merci beaucoup ! Il me reste plus que 15 autres exercices à faire maintenant !!!

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