Processus Ponctuel de Poisson

[invite0692544f]

Salut !
Est ce que quelqu'un pourrais m'expliquer pas à pas les étapes à suivre pour résoudre ce problème.

J'ai la solution mais je n'arrive pas à la déchiffrer :

Déterminer le coefficient de corrélation d’un Processus Ponctuel de Poisson (PPP) d'intensité lambda.

On a pris Nt et Ns deux processus

et sachant que
coefCor (Nt,Ns) = Cov(Nt,Ns) /racine [Var (Nt)] * racine [Var(Ns)] (1)

Cov(Nt,Ns) = E(Nt,Ns)-E(Nt).E(Ns) (remplacement dans (1) )

E(Nt,Ns)=Som sur k Som sur l (k l P(Nt=k, Ns=l)


... Après on a introduit une identité remarquable (a-b)²=a²+b²-2ab

et là j'ai décroché ! je ne vois pas ou ça mène !?

et ça a donné : = 1/2E(Nt²+Ns²-(Nt+Ns)²)

Puis on a enchainer avec Nt ~ P(Lambda.t) => E(Nt)=Var(Nt)=lambda.t => E(Nt²)=lambda.t +lambda².t²

je ne comprends plus rien à partir de là !

J'espère que quelqu'un voudra bien m'expliquer

et si quelqu'un peut bien me donner des notions sur ces Processus ça serait sympa !

Merci d'avance
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[invite986312212]

bonjour,
quelques petites imprécisions dans ton exposé:
1) Nt et Ns ne sont pas deux processus. Tu as un seul processus N et tu veux écrire la covariance entre N(t) et N(s) (que tu notes Nt et Ns)
2) il ne s'agit pas de E(Nt,Ns) mais de E(NtNs) (l'espérance du produit).

dans la suite, je ne vois pas ce que tu ne comprends pas: tu sais que N(t), qui est le nombre d'événements entre les instants 0 et t, suit la loi de Poisson de paramètre ?

[invite0692544f]

Merci pour ces rectification ! ceci prouve bien que je suis OUT ! Les proba c'est pas mon fort malheureusement !

Ce que je ne comprends surtout pas c'est comment on a pu utilisé l'identité remarquable pour continuer les calcules ?
Si tu as une suggestion sur la solution, elle est la bienvenue !

[lapin savant]

... Après on a introduit une identité remarquable (a-b)²=a²+b²-2ab

et là j'ai décroché ! je ne vois pas ou ça mène !?

et ça a donné : = 1/2E(Nt²+Ns²-(Nt+Ns)²)

Puis on a enchainer avec Nt ~ P(Lambda.t) => E(Nt)=Var(Nt)=lambda.t => E(Nt²)=lambda.t +lambda².t²

je ne comprends plus rien à partir de là !

Salut,
comme l'a dit ambrosio, il s'agit effectivement de l'espérance du produit pour exprimer la covariance de deux v.a. : l'identité remarquable est introduite pour présenter élégamment le calcul de cette espérance (tu as vu la tête de sa définition ? ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0692544f]

Apparemment mon cahier est trufé de fautes, vous ne pourriez pas m'envoyer la solution correcte ? c'est pour mes révisions ! SVP

[invite986312212]

le principe de ce forum, c'est de ne pas résoudre les exercices. Mais bon, voici comment on calcule la covariance dans le processus de Poisson. Je note le nombre de points entre a et b. Ce que tu notes Nt je le note donc .

commençons par calculer . On peut supposer . Alors
puisque le processus de Poisson est à accroissements indépendants et qu'ici on a un processus stationnaire (donc )
on arrive donc à
et par suite et, puisqu'on a arbitrairement supposé , on a finalement

j'ai abandonné le cas s=t parce que je ne me rappelle pas comment on produit le symbole "inférieur ou égal" en TeX, mais tu peux vérifier que ça marche bien pour s=t (c'est alors la variance du processus)