Théorie de la mesure !!

invite52487760 · 13/11/2007, 20h03

Bonsoir :
Soit $\text{[math]}$ un espace mesuré.
On désignera par $\text{[math]}$ ( resp. $\text{[math]}$ ) l'ensemble des applications mesurables de $\text{[math]}$ da,s $\text{[math]}$ ( resp . dans $\text{[math]}$ ).
Pour tout $\text{[math]}$ et tout $\text{[math]}$ , on posera :
$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Soit $\text{[math]}$ .
Montrer que $\text{[math]}$ est décroissante et que pour tout $\text{[math]}$ , on a :
$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Soit $\text{[math]}$ une suite croissante dans $\text{[math]}$ qui converge simplement vers $\text{[math]}$ , montrer que la suite $\text{[math]}$ est croissante et converge simplement vers $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Soient $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ une partition de $\text{[math]}$ constituée d'éléments de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ des rééls vérifiant $\text{[math]}$ .
On pose : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Calculer, suivant les valeurs de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ .
Questions :
J'ai resolu $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , il me reste le $\text{[math]}$ ... Est ce que vous pouvez m'aider sur cette dernière question ?
Merci d'avance !!

invite52487760 · 13/11/2007, 20h04

supposons que :
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Il y'a une erreur parceque il faut $\text{[math]}$ soit écrit aussi en fonction des $\text{[math]}$ ..
Est ce que vous pouvez m'aider là ?
Merci d'avance !!

invite52487760 · 13/11/2007, 20h05

Il reste encore une petite question :
Comparer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est la mesure de Lebesgue sur $\text{[math]}$ .
Merci d'avance !![/

invite52487760 · 13/11/2007, 20h12

$\text{[math]}$
Mais je vois pas comment terminer !!
Merci d'avance de votre aide !!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invite35452583** · 13/11/2007, 20h20

Envoyé par chentouf

Il y'a une erreur parceque il faut $\text{[math]}$ soit écrit aussi en fonction des $\text{[math]}$ ..

Mais c'est le cas

en effet cette valeur n'est valable que sur $\text{[math]}$ , c'est là qu'apparaissent les alpha.

Je suppose que l'intégrale de Lebesgue t'a été introduite comme limite de fonctions "en escalier" (un trou : je ne sais plus le terme exact).
Dans ce cas, avec ce que tu as trouvé au 3) un petit calcul montre qu'il y a égalité pour ces fonctions particulières.
Ensuite le 2) permet de conclure grace à deux limites (une pour "Lebesgue", l'autre pour la manière de voir introduite ici).

invite52487760 · 13/11/2007, 20h29

Envoyé par homotopie

Mais c'est le cas

en effet cette valeur n'est valable que sur $\text{[math]}$ , c'est là qu'apparaissent les alpha.

Salut "homotopie" :
J'ai pas compris !! Tu peux m'expliquer ou est ce qu'elle est l'erreur avec un peu d'écriture mathematiques ? sinon, je resterai bloqué !!
Merci d'avance !!

**invite35452583** · 13/11/2007, 20h41

On a :
$\text{[math]}$
à d'éventuelles erreurs prêts.
Donc les alpha sont bien présents dans la définition sur R de U_f(t) même s'ils n'apparaissent pas dans les valeurs numériques prises.

invite52487760 · 13/11/2007, 21h05

Envoyé par homotopie

Je suppose que l'intégrale de Lebesgue t'a été introduite comme limite de fonctions "en escalier" (un trou : je ne sais plus le terme exact).
Dans ce cas, avec ce que tu as trouvé au 3) un petit calcul montre qu'il y a égalité pour ces fonctions particulières.
Ensuite le 2) permet de conclure grace à deux limites (une pour "Lebesgue", l'autre pour la manière de voir introduite ici).

Tu parles de " fonctions étagées" , voilà

Je sais pas comment commencer pour trouver la solution , tu peux m'aider "homotopie" ?
Merci d'avance !!

invite52487760 · 13/11/2007, 21h36

**invite35452583** · 13/11/2007, 21h44

Si f est Lebesgue-intégrable elle est limite croissante de fonctions étagées (voilà le terme que j'avais perdu, merci), car son intégrale est borne sup des fonctions étagées qui lui sont inférieures. L' "intégrale de Lebesgue" de f est égale à la limite de l' "intégrale de Lebesgue" de ces fonctions étagées.

Maintenant, en utilisant le point 2) précédemment montré tu montres que l' "intégrale nouvelle version" des fonctions étagées précédentes converge vers l' "intégrale nouvelle version" de f. Ce que j'appelle "intégrale nouvelle version" est $\text{[math]}$

Or le point 3) peut être reformulée ainsi "intégrale nouvelle version"="intégrale de Lebesgue" pour les fonctions étagées.

invite52487760 · 13/11/2007, 22h07

une petite question un peu bête n où sont les fonctions étagées dans cet exo !! ce sont pas les $\text{[math]}$ ?
$\text{[math]}$
D'après "Beppo-Levi" :
$\text{[math]}$
C'est pas ça ? non ?

**invite35452583** · 13/11/2007, 22h10

Envoyé par chentouf

une petite question un peu bête n où sont les fonctions étagées dans cet exo !! ce sont pas les $\text{[math]}$ ?
$\text{[math]}$
D'après "Beppo-Levi" :
$\text{[math]}$
C'est pas ça ? non ?

Oui, c'est ça.

invite52487760 · 13/11/2007, 22h12

Envoyé par homotopie

Or le point 3) peut être reformulée ainsi "intégrale nouvelle version"="intégrale de Lebesgue" pour les fonctions étagées.

C'est à dire : $\text{[math]}$ ?

invite52487760 · 13/11/2007, 22h19

Je ne vois pas encore pourquoi, il y'a égalité !! tu peux m'aider "hopotopie" stp ?!
Merci d'avance !!

**invite35452583** · 13/11/2007, 22h40

Envoyé par chentouf

une petite question un peu bête n où sont les fonctions étagées dans cet exo !! ce sont pas les $\text{[math]}$ ?

J'ai du lire un peu vite, non ce ne sont pas les U_fn mais les f_n

Soit f Lebesgue-mesurable, on a i=sup(intégrales fonctions étagées <=f)=inf(intégrales fonctions étagées>=f}. Il existe une suite de fonctions étagées f_n(<=f sur R) telles que f_n->f (ce n'est pas très dur à montrer, on part d'une suite g_n<=f dont l'intégrale converge vers celle de f puis on modifie en prenant fn=max(g1,...,gn)). On a
$\text{[math]}$

Maintenant, on est dans les hypothèses du point 2) on a donc comme tu l'as écrit :

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$
D'après "Beppo-Levi" :
$\text{[math]}$

A partir de là, il est facile de partir des résultats du 3) pour montrer que pour les fonctions étagées :
$\text{[math]}$

Il ne reste plus qu'à recoller les morceaux.

invite52487760 · 13/11/2007, 22h48

les $\text{[math]}$ non plus ne sont pas des fonctions etagées !! je crois que tu as brulé un peu les étapes là !! parcequ'on est encore au $\text{[math]}$ ème question !! après elle vient la 4 ème question dont il faut raisonner comme tu me l'expliques dans ce dernier message !!
Alors , maintenant, ce qu'il faut montrer c'est que pour une fonction étagée $\text{[math]}$ , l'égalité : $\text{[math]}$ est verifiée ! et là je sais plus comment faire !! tu peux m'aider "homotopie" ?!
Merci d'avance !!

invite52487760 · 13/11/2007, 23h20

Help pls !!

invite52487760 · 14/11/2007, 09h36

Voiçi ce que j'ai trouvé pour $\text{[math]}$ :
Pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
Donc pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ ... etc.
Donc : $\text{[math]}$
Donc :
$\text{[math]}$
Donc : $\text{[math]}$ est une fonction étagée par rapport à $\text{[math]}$
C'est ça ?

invite52487760 · 14/11/2007, 09h41

Et donc : $\text{[math]}$ ...
Comment faire la suite ?!

invite52487760 · 14/11/2007, 09h49

Parceque on nous dit après :
Montrer que pour $\text{[math]}$ , on a :
$\text{[math]}$
Je sais pas comment faire ça !!
Pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance !!

invite52487760 · 14/11/2007, 10h17

svp !! comment monter que $\text{[math]}$ , je suis pas sûr du raisonnement !!
Merci d'avance de votre aide !!

invite52487760 · 14/11/2007, 10h32

Est ce que c'est pas comme ça :
$\text{[math]}$
On a utilisé la proprité de continuité croissante !! c'est bien ça ?

invite986312212 · 14/11/2007, 11h09

Envoyé par chentouf

D'après "Beppo-Levi" :

bonjour,

ça ne va pas t'aider dans ton exo mais:
ne mets pas de trait d'union: Beppo est le prénom de Levi. C'est vrai que ce n'est pas courant de citer le prénom d'un mathématicien dans le nom d'un théorème. Ici, c'est pour distinguer Beppo Levi de Paul Levy, mathématicien français qui a lui aussi travaillé en probabilités.

invite52487760 · 14/11/2007, 11h10

Homotopie tu peux m'aider !! j'ai juste montré qu'il y'a inégalité !! mais pour montrer l'égalité , je sais pas comment faire !!
Merci d'avance !!

invite52487760 · 14/11/2007, 11h11

Envoyé par ambrosio

bonjour,

ça ne va pas t'aider dans ton exo mais:
ne mets pas de trait d'union: Beppo est le prénom de Levi. C'est vrai que ce n'est pas courant de citer le prénom d'un mathématicien dans le nom d'un théorème. Ici, c'est pour distinguer Beppo Levi de Paul Levy, mathématicien français qui a lui aussi travaillé en probabilités.

J'ai montré qu'il y'a inégalité !! mais pas dégalité !! je sais pas comment faire ça !!

**invite35452583** · 14/11/2007, 17h04

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$
Donc : $\text{[math]}$ est une fonction étagée par rapport à $\text{[math]}$
C'est ça ?

Tu intègres sur R⁺, on commence l'indiçage des alpha en 1 et le 1er terme $\text{[math]}$ ou plus exactement $\text{[math]}$ n'a aucune raison de disparaître.
Donc il manque un morceau dans le début de ta preuve de l'inégalité.

Envoyé par chentouf

Et donc : $\text{[math]}$ ...
Comment faire la suite ?!

Ton inégalité je ne vois pas d'où elle vient car pour certains lpha ça doit être faux. Surtout il faut sortir d'une égalité.
Le terme qui manque juste au-dessus est $\text{[math]}$ ça tombe bien. En effet, regarde combien de fois est compté $\text{[math]}$ on tombe sur $\text{[math]}$ et le terme oublié donne $\text{[math]}$ d'où un total égal à $\text{[math]}$ .
On obtient $\text{[math]}$
Or tu as montré dans un post précédent que ceci vaut $\text{[math]}$ .
Ceci suppose les alpha positifs.

Désolé d'avoir anticipé sur la question 4. Il faut encore peaufiner pour obtenir que les fonctions étagées convergent simplement. Pour cela on peut montrer que l'ensemble sur lequel il n'y a pas convergence simple est de mesure nulle. On considère alors la restriction au complémentaire.

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