0 + 0 = ? La tete à Toto...

[Gawel]

salut à tous


une petite colle :
0 + 0 = 0

une petite démonstration de cette égalité (qui parrait pourtant évidente) ?

C'est du sérieux, j'ai eu ça en controle de math en prépa.. !



à vous de jouer
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[invitec053041c]

Bonjour, je propose ceci:

 Cliquez pour afficher

On se place dans l'anneau commutatif des réels par exemple:
0+0
=[x+(-x)]+[x+(-x)]
=x+x+(-x)+(-x) (commutativité de l'addition)
=2x+2(-x)
=2x+[-(2x)] (commutativité de la multiplication)
=0

[Médiat]

0 + 0 = 0
une petite démonstration de cette égalité

Quels axiomes (voire théorèmes) sont utilisables ?
Pour l'axiomatique de Peano, l'un des axiomes dit précisément que en choisissant 0 pour x, c'est fini.

[invitec053041c]

Quels axiomes (voire théorèmes) sont utilisables ?
Pour l'axiomatique de Peano, l'un des axiomes dit précisément que en choisissant 0 pour x, c'est fini.

Oui c'est vrai, si on prend pour définition de 0 que c'est l'élément neutre de l'addition...
Je crois que c'est plutôt : montrer que pour tout x, x.0=0
Et là ça fait:
x.0=x.(y+(-y))=x.y+x(-y)=xy-xy=0
Bref...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je crois que c'est plutôt : montrer que pour tout x, x.0=0

C'est un autre axiome de Peano
Tant que l'on ne saura pas dans quelle théorie cette démonstration doit être faite, nous tournons en rond () pour rien

[invitec053041c]

C'est un autre axiome de Peano
Tant que l'on ne saura pas dans quelle théorie cette démonstration doit être faite, nous tournons en rond () pour rien

Je ne connais pas ce peano .
A mon avis c'est dans un anneau commutatif au sens qu'on donne en prépa...
Il y a l'axiome x+0=0 mais pas le x.0=0
Bref, attendons des précisions !

[azt]

Bonjour,

C'est pas plutôt ? Je ne connais Peano que de nom.

[invitec053041c]

Bonjour,

C'est pas plutôt ? Je ne connais Peano que de nom.

Oui j'imagine .

[Médiat]

C'est pas plutôt ? Je ne connais Peano que de nom.

Oui, bien sur, faute de frappe, désolé.

[Gawel]

démonstration à faire sans tenir compte que 0 est un élement neutre
trop facile sinon

Ledescat, t'es pas trop loin, c'est dans cet esprit, mais c'est pas bon
je pense que ce que tu as voulu dire, c'est qu'on a
=2x+[-(2x)]
pour x=0,
2.0 + -(2.0) = 0 + 0
=0

le principe est le bon, sauf que tu utilises la neutralité du 0 pour dire que
a.0 = 0
donc pas bon

ou alors, c'est que tu as tourné en rond... en disant que 2x - 2x = 0
mais on a pas 0 + 0 = 0

[invite9c9b9968]

Comme le dit Mediat, ton "exercice" n'a aucun sens si tu ne précises pas les axiomes de départ. En effet dans le cadre de l'arithmétique dite "naturelle", ie celle de Peano, c'est un axiome de base de dire qu'il existe un élément de IN appelé 0 tel que pour tout x dans IN on ait x+0 = 0 (l'opération + étant définie par la fonction successeur).

A partir de là il est évident que 0+0=0...

Donc précise-nous tes axiomes de départ !

[invite9c9b9968]

Ledescat, t'es pas trop loin, c'est dans cet esprit, mais c'est pas bon
je pense que ce que tu as voulu dire, c'est qu'on a
=2x+[-(2x)]
pour x=0,
2.0 + -(2.0) = 0 + 0
=0

Non ce n'est pas ce que Ledescat a voulu dire. Tu surinterprètes ! Ce qu'il a écrit est valable pour tout x...

[Gawel]

Ce qu'il a écrit est valable pour tout x...

donc il a tourné en rond

[invitec053041c]

L'utilité de Peano serait entre autre d'établir que 0.n=0 dans IN alors ?
Car la seule manière de le montrer (à ma connaissance) est de passer par l'opposé par +, donc d'être au minimum dans un anneau. Ainsi dans IN cette propriété me semble nécéssaire d'être posée comme axiome (Peano).
Je me suis mal exprimé, c'est l'heure...

[invite9c9b9968]

Mais tu ne donnes pas tes hypothèses de départ bon sang ! Qu'attends-tu pour le faire ?

[invitec053041c]

donc il a tourné en rond

Ben non, (2x)+[-(2x)]=0 , 0 étant l'élément neutre pour l'addition.
N'ouble pas que dans un groupe, x*(x^-1)=e ...

D'ailleurs, si tu considères 0 comme élément neutre de l'addition, alors 0+x=x, en particulier pour x=0

Mais peux-tu nous dire les AXIOMES que tu utilises, car pour le moment c'est toi qui nous fait tourner en rond...

[invitec053041c]

démonstration à faire sans tenir compte que 0 est un élement neutre
trop facile sinon

Ah tiens je viens de voir ça, c'est quoi alors 0 ? ...

[invité576543]

Ah tiens je viens de voir ça, c'est quoi alors 0 ? ...

Le seul élément sans prédécesseur...

La bonne question c'est plutôt "c'est quoi alors l'addition?"...

Cordialement,

[invite9c9b9968]

Le seul élément sans prédécesseur...

La bonne question c'est plutôt "c'est quoi alors l'addition?"...

Cordialement,

Salut mmy,

Tu te places donc ici implicitement dans l'ensemble des naturels, donc la question posée est résolue directement avec les axiomes de Peano non ?

[invite7753e15a]

Quels axiomes (voire théorèmes) sont utilisables ?
Pour l'axiomatique de Peano, l'un des axiomes dit précisément que en choisissant 0 pour x, c'est fini.

Bonjours,
Ca veut dire quoi le A à l'envers ? Peux tu m'expliquer ?
Merci !


Et les Axiomes, c'est quoi ?

[invité576543]

c'est un axiome de base de dire qu'il existe un élément de IN appelé 0 tel que pour tout x dans IN on ait x+0 = 0 (l'opération + étant définie par la fonction successeur).

L'opération + n'est pas définie par la fonction successeur, sa définition fait intervenir la fonction successeur, mais contient nécessairement des choses en plus...

Si on prend comme définition "x+y=x si y n'a pas de prédécesseur, et x+y=succ(x)+pred(y) si x a un prédécesseur", que 0 soit élément neutre (à droite) n'est pas un axiome, mais une conséquence directe de la définition de l'addition. Qu'il soit élément neutre à gauche demande démonstration, au passage. De plus, avec cette définition, il n'est pas besoin d'évoquer que 0 soit élément neutre pour prouver que 0+0=0: il suffit d'appliquer la définition...

Donc la question de fond est bien "comment est définie l'addition?"

Cordialement,

Cordialement,

[invité576543]

Tu te places donc ici implicitement dans l'ensemble des naturels, donc la question posée est résolue directement avec les axiomes de Peano non ?

Bon point. Mais même si la question ne concerne pas les naturels, on peut aussi imaginer des cas tels que "0 est élément neutre" n'est pas un axiome, auquel cas c'est la définition de l'addition qui manque.

En axiomatique de groupe l'existence et la notation de l'élément neutre seront effectivement des axiomes.

Un colleur un peu plus vicieux aurait pu alors demander de démontrer que "1+1=1"...

Cordialement,

[invité576543]

Ca veut dire quoi le A à l'envers ? Peux tu m'expliquer ?

Cela veut dire "pour tous", ou "quel que soit", cela introduit une propriété applicable à tous les éléments d'un ensemble donné.

Et les Axiomes, c'est quoi ?

Ce qui est supposé vrai sans avoir de démonstration et sans avoir besoin de démonstration. Faut bien partir de quelque chose, et en maths ce "quelque chose", ce sont les axiomes.

Cordialement,

[Médiat]

Donc la question de fond est bien "comment est définie l'addition?"

Axiomes de Peano :

[invite7753e15a]

Il y a un symbole qui permet de renseigner le lecteur de l'opération que l'ont effectue, que celle-ci est un Axiome ?
L'Axiome a-t-il un symbole ?

[Seirios]

Il y a un symbole qui permet de renseigner le lecteur de l'opération que l'ont effectue, que celle-ci est un Axiome ?
L'Axiome a-t-il un symbole ?

Je ne pense pas. Mais en mathématique, on ne se sert pas que de symboles, il y a aussi beaucoup de texte. Donc on écrira certainement : "D'après l'axiome ..."

[invite7753e15a]

Ha ok merci bien.

[Médiat]

L'opération + n'est pas définie par la fonction successeur, sa définition fait intervenir la fonction successeur, mais contient nécessairement des choses en plus...

Que veux-tu dire ? Pour moi (écriture non formelle (et même abusive), mais j'espère explicite), qu'est-ce qu'il y a en plus de la fonction successeur ?

[invité576543]

Que veux-tu dire ? Pour moi (écriture non formelle (et même abusive), mais j'espère explicite), qu'est-ce qu'il y a en plus de la fonction successeur ?

Dans il y a "y" en plus, comparé à . Ca me suffit largement comme "en plus".

Cordialement,

[Médiat]

Dans il y a "y" en plus, comparé à . Ca me suffit largement comme "en plus".

x + 2 = s(s(x)), du côté droit il n'y a que s, et je peux faire cela pour tous les entiers et j'aurais défini l'addition sans rien utiliser d'autre que s (et d'ailleurs c'est ce que fait l'axiomatique de Peano). Je ne comprends toujours pas ce qu'il y a "en plus", le signe + est une abréviation entièrement définissable avec s, ce que voulait dire Gwyddon, je suppose ; maintenant si tu veux dire que l'addition n'est pas la fonction successeur, je suis d'accord.