0 + 0 = ? La tete à Toto...

[invite4b9cdbca]

démonstration à faire sans tenir compte que 0 est un élement neutre
trop facile sinon

"Hors Sujet" :
Cet exo me rapelle horriblement une démo que ma prof de maths avait faite pour montrer des "vérités fondamentales" comme 0+0=0 ou 1 différent de 0... On avait passé plus d'une heure dessus. Mais je n'en vois toujours pas l'intérêt.
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[invité576543]

x + 2 = s(s(x)), du côté droit il n'y a que s, et je peux faire cela pour tous les entiers et j'aurais défini l'addition sans rien utiliser d'autre que s (et d'ailleurs c'est ce que fait l'axiomatique de Peano). Je ne comprends toujours pas ce qu'il y a "en plus"

Il y a "2" en plus , et tu n'as défini que l'addition de 2 à droite, toujours pas l'addition. Il faut d'autres choses en +.

, le signe + est une abréviation entièrement définissable avec s,

Jamais dit le contraire.

Je ne comprends pas ton objection. Tu as donné toi-même les axiomes de Peano définissant l'addition. Ces axiomes sont bien "en plus" de la définition de successeur, non?

Cordialement,

[invité576543]

"Hors Sujet" :
Cet exo me rapelle horriblement une démo que ma prof de maths avait faite pour montrer des "vérités fondamentales" comme 0+0=0 ou 1 différent de 0... On avait passé plus d'une heure dessus. Mais je n'en vois toujours pas l'intérêt.

L'intérêt est de progresser dans la compréhension du mot "démontrer". Curieusement, l'enseignement élémentaire des maths utilise continuellement ce mot, alors que la compréhension fine de ce qu'il signifie n'est pas facilement accessible.

Cordialement,

[invitec053041c]

Oui, il y a beaucoup de choses comme ça qui se démontrent alors qu'on avait pas à l'idée de le démontrer.
Par exemple démontrer que multiplier par un négatif change le sens des inégalités (dans IZ par exemple).

[Médiat]

Je ne comprends pas ton objection.

En fait ma réaction vient de ton objection Gwyddon que je ne comprenait pas.

L'opération + n'est pas définie par la fonction successeur, sa définition fait intervenir la fonction successeur, mais contient nécessairement des choses en plus...

Pour être clair, l'expression de Gwyddon "l'opération + étant définie par la fonction successeur" me paraît tout à fait justifiée, elle exprime que l'addition n'est pas un symbole supplémentaire ayant des propriétés propres, mais au contraire qu'il ne s'agit que d'une abréviation pour une opération définissable avec la fonction successeur et le 0 exclusivement, pour moi cela justifie l'expression "il n'y a rien de plus" car dès que s et 0 sont définis, l'addition aussi.

Je donne un exemple bê-bête de ce que j'appelerais "en plus" :
Soit la liste des axiomes de la théorie des groupes avec une opération notée + (j'en fait l'économie ), si je veux ajouter une relation d'ordre , je vais devoir ajouter un symbole de relation et les axiomes de la relation d'ordre ; si à partir de cette nouvelle théorie je veux ajouter que la relation d'ordre doit être "compatible" avec la loi de composition, je dois absolument ajouter des axiomes et non une écriture simplifiée pour une formule exprimable avec ce qui a été axiomatisée avant.

Mais bon, tout cela n'est qu'une querelle de mots sans grande importance

[invité576543]

dès que s et 0 sont définis, l'addition aussi.

Auquel cas, il n'y a pas besoin d'axiome relatif à l'addition. Pourquoi en as-tu cité, alors?

D'ailleurs, tu as cité des expressions définissant l'addition comme faisant partie des axiomes de Peano, ce qui est contredit par de nombreuses présentations desdits axiomes, qui ne citent pas l'addition...

C'est bien une querelle de mots, mais pour moi s n'est pas défini, mais postulé. Le cas de "0" est plus subtil (l'unicité de l'élément x ayant la propriété n'est pas un axiome, il me semble, mais une conséquence des axiomes). L'addition est bien définie. De là soit on considère qu'une définition (i.e., la description d'une abbréviation) est un axiome (et alors il est "en plus"), soit on considère que ce n'est pas un axiome. Mais tes interventions donnent tantôt l'un tantôt l'autre, il me semble...

C'est bien un "querelle" de mot, mais sur les mots "axiome" et "définition"...

Cordialement,

[Médiat]

C'est bien un "querelle" de mot, mais sur les mots "axiome" et "définition"...

Dans la mesure où les axiomes définissent une théorie, j'a peur que la circularité des définitions n'intervienne très vite.

Pour moi la question de fond est ailleurs : est-ce que la théorie avec les axiomes qui définissent l'addition est différente (théorème vrai dans l'une et faux dans l'autre) de la théorie sans ces axiomes, mais avec la définition : "soit f la fonction vérifiant f(x, 0) = x et s(f(x, y)) = f(x, s(y))" ?

(dans les deux cas il y a des choses à vérifier, par exemple que la théorie est cohérente et que f existe ou que la théorie est cohérente (ce qui inclut que + existe), mais c'est la même chose)

[Médiat]

Est-ce qu'il serait possible que le posteur initial, Gawel_UTBM, réponde enfin à la question : dans quelle théorie cette démonstration doit-elle être conduite ?

[Gawel]

en fait, le principe de résolution est basé sur un raisonnement par l'absurde, qui permet de passer à côté des axiomes de definition, et qui nous permet de contourner ces problemes de définition.
j'ai été un peu rapide en disant que 0 était pas l'élément neutre... bien entendu qu'il l'est, on le sait bien, mais on a pas besoin de ses propriétés

j'adore cette équation bete parce qu'elle souleve toujours un gros débat sur la définition du "+" et la définition du "0"

je me souviens du gros débat qui avait éclaté lors du cours de math... et ce qui est dingue, c'est que c'est au cours de ces débats qu'on apprend les "vrai" math ! c'est à dire essayer de comprendre le pourquoi du comment (et pas des formules envoyées sur le tableau et copié sur le cahier...)

[invitec053041c]

en fait, le principe de résolution est basé sur un raisonnement par l'absurde, qui permet de passer à côté des axiomes de definition, et qui nous permet de contourner ces problemes de définition.

Raisonner par l'absurde ne nous permet pas de passer à côté des axiomes, au contraire: si on arrive à une contradiction, c'est qu'il y a un axiome (ou un théorème qui en découle) qui dit le contraire de ce qu'on affirme.
Donc ton prof a certainement donné un cadre pour montrer ceci .


Cordialement.

[Gwyddon]

On attend toujours ton axiomatique de départ

En fait je soupçonne ton prof d'avoir voulu vous "impressionner" sans réellement donné le cadre rigoureux de la preuve...

[Médiat]

j'adore cette équation bete parce qu'elle souleve toujours un gros débat sur la définition du "+" et la définition du "0"

Pour l'instant, le gros débat est : quelle est la théorie dans laquelle ceci doit être démontré ? Sinon tu peux tout aussi bien demander de démontrer que sans donner aucune précision sur ni , cela n'a aucun sens.

[FonKy-]

Pour l'instant, le gros débat est : quelle est la théorie dans laquelle ceci doit être démontré ? Sinon tu peux tout aussi bien demander de démontrer que sans donner aucune précision sur ni , cela n'a aucun sens.

Bien sur que si il suffit de rajouter de vant ton equation est ca marche on a fait un post sur ca je crois ( je charrie )

FonKy-

[Médiat]

Bien sur que si il suffit de rajouter de vant ton equation est ca marche on a fait un post sur ca je crois ( je charrie )

Analysons calmement :
Première hypothèse est un symbole de constante, dans ce cas metter un quantificateur devant n'a aucun sens.
Deuxième hypothèse est un symbole de variable et un symbole d'opération qui vérifie l'axiome suivant (c'est ce que tu suggères) , et dans ce cas la démonstration est triviale (puisque conséquence tautologique de l'axiome).

On en revient donc à la question de fond : dans quelle théorie travaille-t-on ?

Je me doute que ton intervention se voulait plus provocatrice que sérieuse, néanmoins, le sujet l'étant, car c'est le fond même des mathématiques qui est en cause, j'ai préféré y répondre comme si tu te posais réellement la question.

[FonKy-]

Mais je me demandais alors avec Ledescat, est-ce qu'il yaurai une révolution qui se cache la dessous , qui changerait la face des mathématiques a l'instar de la mécanique quantique en physique. Car pour l'instant, les math fonctionnent tres bien je pense, on sait resoudre pas mal de chose, alors est-ce que changer les bases permettrait de gagner du temps pour la recherche de certains resultats .. je ne sais pas. Je suis assez convaincu de ce qu'on a sous la main. Puis je me demandai surtout à quoi cela sert de remettre en cause les math d'aujourd'hui moi ca ne me préoccupe pas personnellement, et d'ailleurs en cherchant par la je ne vois pas ou ca peut mener .


FonKy-

[invitec053041c]

Hé! M'enrolle pas dans tes délires métaphysiques .

[Médiat]

Mais je me demandais alors avec Ledescat, est-ce qu'il yaurai une révolution qui se cache la dessous

Oui, une révolution ayant plus d'un siècle et dont l'un des fleurons est le pied de nez fait à Hilbert et à son programme.

[Gawel]

Je me doute que ton intervention se voulait plus provocatrice que sérieuse, néanmoins, le sujet l'étant, car c'est le fond même des mathématiques qui est en cause, j'ai préféré y répondre comme si tu te posais réellement la question.

héhé
c'est peut etre un peu le cas

Ca fait toujours plaisir de voir des passionnés de maths se poser des questions existencielles dans ce domaine... !

bref, en fait, ce que nous avais demandé notre prof, c'est de ressortir les pistes qui ont été explorées avant que l'axiome 0.a=0 n'ait été reconnu...
c'était un devoir beaucoup plus axé sur la recherche que sur le résultat...

de la philo version mathématique... que du bonheur

en tout cas, la démo est extremement longue est pas très précise... c'est un ensemble de pistes qui font qu'on est obligé à un moment de poser une hypothese...

désolé de vous avoir fait cherché, mais c'était pour le fun...
ça fait plaisir de voir du répondant aussi actif héhé

[martini_bird]

Salut,

selon moi, la question relève plus de l'épistémologie que des fondements logiques des mathématiques. Notamment, c'est souvent après un cursus universitaire que l'on se rend compte que les définitions, présentées en tant que commencement, sont en réalité l'aboutissement d'un long processus.

Plutôt que de paraphraser JP. Kahane, je t'invite à l'écouter : utls

Cordialement.

[martini_bird]

J'ajouterais aussi que reproduire le processus historique est rarement la meilleure entrée pédagogique. Mais c'est une autre question, celle de la transposition didactique.

Cordialement.

[invite149ca13b]

Oui , mais d'apres la réciproque du th de decles qui prouve que x est définit sur R et que x sont les mm valeurs mais opposées , je m'explique : x = -3
et x=3
-3+3=0
Donc 0 n'ayant pas de valeurs opposé , 0+0=0

---> En aucun cas il ne fuat utilisé l'axiomatique de peano !!!

Allez Chous les amateurs