likelihood ratio

[mat03]

Bonjour à tous,
Dans un papier traitant de computations neuronales au cours de décisions perceptives il est écrit:

The neuron's output in the presence and abscence of light can be characterized with a probability density function (PDF) which we will refer to as
f(e/h1) and f(e/h2) respectively. Given a particular output of this neuron (ek), it is possible to decide whether light is likely present (h1) or absent (h2) by computing the LR from the two PDFs. The likelihood of obtaining ek in the presence of light is the height of the ‘light present’ PDF, corresponding to f(e|h1), at the value ek. Similarly, the likelihood of obtaining ek in the absence of light is the height of the PDF corresponding to f(e|h2), at the value ek. A decision can then be made by determining whether the ratio of these likelihoods is greater or less than 1.

Pourquoi prend-on la hauteur de la fonction de densité pour déterminer les likelihoods et calculer ensuite le likelihood ratio ?

Help me please!
M.
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[invite986312212]

il faut comprendre "hauteur" comme la valeur de la densité, c'est par définition la vraisemblance (likelihood). Ce texte est probablement écrit à l'intention de non-mathématiciens. Par contre je ne vois pas l'intérêt de calculer le rapport des vraisemblances. La règle de décision consiste à choisir l'hypothèse qui donne la vraisemblance la plus grande (donc le rapport>1 c'est vrai, mais c'est inutile).

[mat03]

Merci pour ta réponse ambrosio. Effectivement ce texte fait partie du champ des neurosciences (et je ne suis pas du tout mathématicien).
Tu soulignes que la valeur de la densité est par définition la vraisemblance: c'est ce point que je ne comprends pas. Pour moi, la vraisemblance est une probabilité conditionnelle et donc se calcule en intégrant la fonction de densité (et non pas en prenant la valeur de f). De plus e est une VA continue, et il me semble que p (ek/H1 ou H0) = 0 (puisque ek est un point précis). Bref tout se mélange un peu dans ma tête....

[invite986312212]

non, la vraisemblance c'est tout simplement la densité. Si tu notes la densité f(e|h) c'est que tu te places dans un contexte bayesien, et il s'agit dans ce cas d'une densité conditionnelle (la densité de la loi conditionnelle de E sachant H=h).

[A voir en vidéo sur Futura]

[mat03]

Merci ambrosio pour tes lumières. Effectivement j'ai bien à faire à une densité conditionnelle (densité de la loi conditionnelle de E sachant H=h). Si j'ai une vraisemblance (densité) élevée, cela veut-il dire que p (ek/H) est élevée ? En gros, j'ai besoin que l'on m 'explique plus concrètement ce qu'est la vraisemblance...

[invite986312212]

mais là si tu choisis l'hypothèse qui donne la plus grande vraisemblance, tu n'es pas en contexte bayesien. En bayesien tu choisirais l'hypothèse qui maximise p(h|e). C'est un problème récurrent dans ce genre de présentations: on note la vraisemblance f(e|h) alors qu'il s'agit d'une fonction f(e,h) (fonction de l'observation e et du paramètre (l'hypothèse) h).

pour comprendre ce qu'est la vraisemblance il faut savoir ce qu'est un modèle statistique: pour ne pas être trop technique je dirai que c'est une famille de lois (sur un certain espace auquel appartiennent les observations) que je note . Dans ton cas, l'ensemble a deux éléments. Pour chaque valeur de , la loi a une densité qu'on peut noter . Pour une observation , la vraisemblance est tout simplement . Comme en statistiques est fixé (on l'a observé) et qu'on se pose des question sur (le paramètre), il est commun de noter la vraisemblance comme une fonction de deux variables : . La méthode du maximum de vraisemblance consiste à choisir la valeur de qui maximise

en bayesien, tu pars du même modèle mais tu lui adjoins une loi sur (l'espace des paramètres). Tu as donc une loi conjointe dont la densité peut être notée et tu peux calculer des lois conditionnelles dont les densités sont notées et <tout ça suppose qu'il y a des densités, mais comme le chercheur choisit le modèle statistique, en général il choisit un modèle suffisamment régulier). Maintenant la règle consiste à choisir le qui maximise . Dans ton cas, puisque tu n'as que deux valeurs de , tu n'as pas de densité conjointe et il s'agit de probabilités conditionnelles au lieu de densité conditionnelle.

[mat03]

Merci beaucoup, c'est limpide. Aurais-tu un bon .pdf qui développe ce dont tu viens de parler (ainsi que la théorie de la décision tant qu'à faire) ? (abordable par un non mathématicien).