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1+1=2 ?




  1. #1
    Logos
    Est-t-il possible de démontrer que 1+1=2 ou est-ce une notion première et indémontrable comme un axiome ?

    -----


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  3. #2
    Coincoin
    Je ne sais pas si cela constitue effectivement un axiome, mais je pense ça ne doit pas en être loin... Quelqu'un connaitrait-il les axiomes de construction de l'ensemble des entiers naturels? Et comment définit-on l'addition?

  4. #3
    Quinto
    Prend une Banane, prends en une autre.
    T'en as combien?

    Sinon c'est la construction de l'arithmétique de Peano.

    En fait il existe des arithmétiques où 1+1=0

    Dans Z/2Z notamment.


  5. #4
    Jedeki
    Les axiomes de Peano donnent IN sur lequelle on définit l'addition et la multiplication.

    On peut alors prouver, dans IN, que 1+1=(le successeur de 1)=2

    Mais dans Z/2Z [1]+[1]=[0]

    pour plus de détails, Halmos a fait un très bon livre nommé "Set theory"
    2+2=4.17985

  6. #5
    invite78632345678
    Salut!!

    Il est effectivement probable que 1+1 n'est pas égal à 2, comme il pourrait trés bien être égal.
    Nul ne sait, et c'est une question que beaucoup se sont déjà posé.

    Donc si 1+1=2, tout va bien pour tout ce que la physique, les mathématiques... ont établis, mais si c'est l'inverse, AIE AIE AIE!!!
    Il faudrait refaire pas mal de choses pour être juste et rigoureux.
    Mais qui l'oblige??
    Même si c'était faux, on pourrai continuer à établir des choses dans le mauvais sens pour éviter de tout refaire, vu que c'est peut-être faux téhoriquement, mais juste dans un autre sens (notament dans le sens qu'on le voit, et comme il a toujours était vu).

    Si c'était faux, on verrai les choses dans un sens totalement différent, ce qui serait trés intéressant, car si des équations sont impossibles, et torturent les chercheurs, c'est peut-être qu'elles sont fausses, et si on pourrai les résoudre, on découvrerai de nouvelles choses.
    Mais qui a dit que 1+1=2?

    Question intéressante, mais peut-être sans réponse, ou avec une infinité de solution...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jedeki
    Salut,

    Ce que tu dis n'est pas tout a fait exact: on sait que 1+1=2, c'est prouvé en théorie des ensembles ainsi qu'en logique formelle. Cependant, Gödel a démontrer qu'il est possible d'obtenir des résultats improuvables (i.e. ni vrais ni faux). De plus, il a prouvé qu'un système d'axiome ne peut prouver sa propre cohérence.

    On a cru que cela ruinerai tout, mais ce n'est pas le cas, tout marche bien (jusqu'à ce qu'on montre que les axiomes choisis sont incohérents, mais on espère que non. A ce stade là, c'est presque une affaire de foi...
    2+2=4.17985

  9. #7
    invite78632345678
    Salut!!

    Oui, ce que tu dis est bien vraie.
    Il n'y a plus qu'à s'assurer qu'il n'y a aucun problème au niveau des axiomes, et la question sera résolue!! (si aucun problème il n'y a biensur)

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  11. #8
    Jedeki
    Ce serait bien, mais on ne peut pas s'assurer qu'il n'y a aucun problèmes...

    C'est bien dommage d'ailleurs...
    2+2=4.17985

  12. #9
    Sharp
    Salut,
    démonstration de 1=2
    Prenons A et B égaux
    On a donc A=B
    On multiplie par A
    A^2=AB
    On retranche B^2
    A^2-B^2=AB-B^2
    On factorise
    (A-B)(A+B)=B(A-B)
    On simplifie
    A+B=B

    Si l'on prend A=B=1, on a bien 1+1=1 Alors, où est l'erreur?
    "Mets du feu dans l'âtre, maman, Grendel vient nous voir ce soir."
    D. Simmons, Hypérion.

  13. #10
    Coincoin
    Facile...

  14. #11
    juan
    salut sharp!
    quel mot magique que la simplification!on en oublierait presque la division par 0 qu'elle implique...non?

  15. #12
    Jedeki
    et celle là:

    1 = racine( -1 * -1) = racine( i^2 * i^2) = racine(i^4) = i^2 = -1
    2+2=4.17985

  16. #13
    Coincoin
    Et là, on comprend pourquoi les mathématiciens ont préféré utilisé la lettre i plutôt que de garder racine(-1)...

  17. #14
    Loki312
    Citation Envoyé par Sharp
    Salut,
    démonstration de 1=2
    Prenons A et B égaux
    On a donc A=B
    On multiplie par A
    A^2=AB
    On retranche B^2
    A^2-B^2=AB-B^2
    On factorise
    (A-B)(A+B)=B(A-B)
    On simplifie
    A+B=B

    Si l'on prend A=B=1, on a bien 1+1=1 Alors, où est l'erreur?
    J'ai trouvé l'erreur, c'est dans la simplifiquation.
    => (A-B)(A+B) = B(A-B)
    => (A+B) = B(A-B)/(A-B)

    ce qui revient à 0/0 et c impossible :P

  18. #15
    Sharp
    Salut,
    exactement, c'était pas très difficile...
    "Mets du feu dans l'âtre, maman, Grendel vient nous voir ce soir."
    D. Simmons, Hypérion.

  19. #16
    Naoli
    Bonjour à tous, ceci peut vous intéresser :
    1+1 = 2 ?

    A bientôt

    Naoli

  20. #17
    vinze
    Commentaires par rapport à l'équation:
    1=racine(-1*-1)=racine(i^2*i^2)=racine(i^4) =i^2=-1!!!!
    C'est tout à fait exact, si on considère les complexes comme des vecteurs:
    -1=i^2 et (-i)^2 ou plus generalement:
    -1=e(i*pi) à 2k*pi près
    donc i^2*i^2=e(2i*pi ) à 2k*pi près,
    si tu prend la racine alors tu trouves
    racine(e(2i*pi ))=e(i*pi) à Pi près soit -1 et 1
    Bye

  21. #18
    Naoli
    Oui Vinze, mais néanmoins on n'a pas 1 = (...) = -1 !

  22. #19
    John
    On n'a tout simplement pas le droit d'écrire racine (nombre négatif) tout comme racine(nombre imaginaire)

    Même si les mathématiciens ont mis a peu près deux siècles avant d'abandonner racine(-1).

  23. #20
    Naoli
    Oui c'est ce que je voulais dire...

    (2 siècles, c'est vrai ? )

  24. #21
    John
    Oui, c'est ce que j'ai entendu dans un cours de maths.

    Alors a part si la prof raconte des conneries ......

  25. #22
    vinze
    Tout depend de ce que l'on entend par "avoir le droit de..." et dans quel referentiel on se place. Si on se place dans l'ensemble des nombre entiers positif et negatif alors 1 et -1 sont differents, mais dans l'ensemble des ei*pi à pi près on a 1 "equivalent" à -1....c'est comme 1+1=1 dans l'ensemble des nombre 1 modulo 1.

  26. #23
    Quinto
    Citation Envoyé par vinze
    mais dans l'ensemble des ei*pi à pi près on a 1 "equivalent" à -1....c'est comme 1+1=1 dans l'ensemble des nombre 1 modulo 1.
    Je ne veux pas chipoter mais dans ce cas on aurait 1+1=1 <-> 1=0
    ce qui n'arrive quand dans un anneau réduit à 0.
    L'ensemble des nombres modulo 1 c'est quoi au fait?

  27. #24
    vinze
    C'est vrai que c'est pas trés clair...c'est plus simple de rester avec les pi:
    2pi+2pi=4pi=2pi=0!!! impossible dans les nombres réels mais possible dans l'ensemble des nombres "teta" modulo 2pi, par exemple.

  28. #25
    Jedeki
    L'ensemble des nombres modulo 1 c'est un ensemble a 1 élément dans lequel on a: 0=1=2=3=4=5=... ce n'est que l'anneau trivial.
    2+2=4.17985

  29. #26
    Quinto
    Oui c'est ca, c'est le seul anneau où 0 est inversible

  30. #27
    Rincevent
    et ça peut pas désigner aussi la partie fractionnaire d'un nombre? vous parlez de nombres pas d'entiers, non? enfin, ça dépend de la définition du mot "nombre"...

  31. #28
    Jedeki
    ça c'est autre chose, c'est x-[x], à la rigueur tu peux regarder l'anneau R/Z qui est homéomorphe au cercle et à [0,1[.
    2+2=4.17985

  32. #29
    Rincevent
    oui, mais justement: il me semble que quand tu parles de racines énièmes d'un nombre complexe, tu travailles plus dans ce cadre là que dans celui des Z/nZ...

  33. #30
    Jedeki
    je vois pas comment alors... la racine n-ème d'un nombre complexe est un ensemble de points modulo 2kpi...
    2+2=4.17985

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