Quotient de Rayleigh

[invite152a412d]

Bonjour,

J'ai un exercice d'un DM qui me pose quelques problèmes. Voici l'énoncé:

Soit A une matrice hermitienne d'ordre n, on apelle le quotient de Rayleigh de la matrice A l'application définie par :

où désigne le produit scalaire hermitien.

a) En décomposant le vecteur x dans la base des vecteurs propres, montrer que :





où les sont les valeurs propres de A avec

b) Soient A et B deux matrices hermitiennes. Montrer que

c) Soient et deux matrices hermitiennes de valeurs propres respectives et .
Montrer que


Je n'ai seulement réussi que la question b) pour les deux autres je ne voies vraiment pas comment partir. Si vous pouvez me donner un peu d'aide je vous en serait reconnaissant.

Merci d'avance
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[invite899aa2b3]

On peut trouver une base orthonormée de vecteurs propres , où est associé à la valeur propre . Dans ce cas, que vaut ? Et ? (d'ailleurs je crois que est le minimum des et non le maximum).
Pour le c), quelle norme utilises-tu ?

[invite152a412d]

Je n'arrive pas à voire ce que représente . Dans la base des vecteurs propres on peut écrire

Comme les sont vecteurs propres alors on a mais je n'arrive pas à faire al relation entre les deux et ensuite essayer de majorer et minorer.

sinon pour la question a) vous avez raison on a bien

Et pour la question c) j'ai mal placé le 2 il n'est pas en exposant mais en indice c'est la norme 2.

[invite899aa2b3]

On a , et l'orthonormalité permet de n'avoir qu'une seule somme. Ensuite, on écrit que .
Pour la question c), quel lien peux-tu faire entre les valeurs propres de et celles de ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite152a412d]

Je n'arrive pas à comprendre ce que vous avez écrit, comment vus êtes arrivé à la double somme et comment l'enlever. ça fait 2 ans que je n'ai pas fait d'algèbre linéaire du coup je pèche un peu sur cet exercice.

[invite899aa2b3]

J'ai juste écrit le vecteur x dans la base de vecteurs propres, puis utilisé la bilinéarité du produit scalaire.

[invite152a412d]

Ah c'est bon j'ai compris en fait c'était le que je ne comprenais pas dans la première somme mais vous avez fait une phaute de frappe. Du coup j'obtient bient où est le conjugué de

Je ne voie pas pourquoi on ne peut avoir qu'une seule somme à cause de l'orthonormalité pour l'instant je suis arrivé à ça :


avec

[invite152a412d]

J'ai peut être avancé un peu, pouvez vous me dire si c'est bon?

on a les qui forment une base orthonormée donc on a :

si
si

On a alors : et

Les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont toutes réelles le produits d'une complexe par son conjugué donne un réel. donc

Mais comment arriver au min et au max?

[invite57a1e779]

Ne serait-ce point : ?

[invite152a412d]

ah oui c'est ça je me suis trompé mais ça ne m'avance toujours pas...

ça donne du coup :

Peut-on dire que ?

[invite57a1e779]

Ton calcul de est faux car ne se décompose pas en .

[invite152a412d]

Ah oui c'est vrai mince du coup j'en reste à : . Du coup je voie pas du tout comment faire alors...

[invite57a1e779]

Utiliser les inégalités : .

[invite152a412d]

Ah oui c'est vrai j'avais complètement zappé cette inégalité du coup on a :

Comme alors et donc on a

Et on fait de même avec pour minorer .

Est-ce correct?

[invite57a1e779]

Tout à fait.

[invite152a412d]

Merci beaucoup !!!!!!!!!!!