problème espace des fonctions continues muni de la distance uniforme

[invite46a05d69]

Bonjour
J'ai vu en TD que l'espace des fonctions continues de [0,1] dans R muni de la norme infini ( sup |f(t)| sur [0,1] ) était complet, c'est à dire que toute suite de Cauchy converge et à sa limite dans cet espace. L'argument du prof était que c'est un sous-espace fermé de l'espace des fonctions bornées de [0,1] dans R, et que ce dernier est complet. Ainsi, un sous-espace fermé d'un espace complet est complet ( si je ne me trompe pas ).

mon problème c'est que j'ai l'impression que ce n'est pas correct :
si je prend la suite de fonction ( fn ) : fn(x) -> x^n sur [0,1] , cette suite est de cauchy pour la norme uniforme, mais ne converge pas dans l'espace C° puisque la limite f = 0 si x<1 et 1 si x = 1

pouvez vous me dire où est ce que j'ai faux dans mon raisonnement svp?
merci
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[invite57a1e779]

si je prend la suite de fonction ( fn ) : fn(x) -> x^n sur [0,1] , cette suite est de cauchy pour la norme uniforme

Cette affirmation est fausse.

[invite46a05d69]

ah bon? toute suite convergente n'est elle pas de cauchy dans un espace normé?
j'ai des doutes car toutes ces notions ne me sont pas encore très famillières.
merci

[invite57a1e779]

toute suite convergente n'est elle pas de cauchy dans un espace normé?

Si, mais la suite que tu considères n'est pas convergente pour la norme de la convergence uniforme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite46a05d69]

ah oui en effet toutes les normes ne sont pas équivalentes car on est en dimension infini... merci !
j'ai montré que le sup tendait vers 1, donc effectivement ce n'est pas de Cauchy.

Le résultat me semble trivial finalement en y repensant...Est ce que ça vient du fait que "toutes fonctions continue qui CVU vers f => f continue"?

[invite57a1e779]

Oui, la limite de la suite devrait être une fonction continue.

[invite46a05d69]

d'accord, merci pour ton aide God's Breath !