problème d'analyse (fonctions continues et point fixe)

[invited6262d2a]

Bonjour!
J'ai un problème avec cet énoncé.
Soient f et g deux fonctions continues de [0,1] dans lui même telles que f.g=g.f.
Montrer qu'il existe x appartenant à [0,1] tel que f(x)=g(x).

Est ce que quelqu'un pourrait me donner une méthode ou une indication de la démarche à suivre pour cette démonstration svp?
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[Seirios]

Bonsoir,

Le résultat est un cas plus général que le théorème du point fixe pour des fonctions de [0,1] dans [0,1], mais tu peux essayer de faire un raisonnement qui ressemble à la preuve de ce cas particulier. Je te propose :

D'après le théorème du point fixe, f admet un point fixe x ; d'après la propriété de commutativité, pour tout k, est également un point fixe de f. On peut donc considérer la suite définie par et . D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, tu peux en extraire une sous-suite convergente ; nécessairement, la limite y de cette sous-suite est un point fixe de g, g(y)=y. De plus, en utilisant la continuité de f, et , donc f(y)=y. Ainsi, f(y)=y=g(y).

Donc si je ne me suis pas trompé, on peut même être plus précis, en disant que f et g admettent un même point fixe.

[invited6262d2a]

Merci beaucoup pour ton aide!!!