Espace muni d'une distance (métrique) Topologie

[invitee2abffa7]

Bonjour,

Encore avec la topologie

si on suppose que E est espace métrique (E,d)
avec d est une application de E*E dans R+
qui vérifié les Proriétés suivantes:
1-d(x,y)=0 équivalent x=y.
2-d(x,y)=d(y,x) (symétrique).
3-d(x,y)<=Max{d(x,z),d(z,y)}



la question c'est que de montrer que d est une distance
bien 1 ,2 sont donné ce qui reste c'est la troisiéme

bon comment montrer que d est vérifié l'inégalité triangulaire?

j'ai fait un peu de Brouillon est ce que Max{d(x,z),d(z,y)} est inférieur
a la somme des distances d(x,z) et d(z,y) mais comment vérifié ca?



et Merci d
-----

[invitee2abffa7]

bon, d'aprés la troisiéme Propriétés si on trois Points x ,y,z qui vérifié cette propriétés dans un espace par exemple
un plan est ce qu'on peut construire une figure qui vérifé cette inégalité?

[invite4ef352d8]

Salut !

si a et b sont deux réel positif, alors a+b>=a et a+b>=b donc a+b>= max(a,b)

cela répond à ta première question.

pour la deuxième, tu nous trouvera pas d'exemples dans un espace euclidien (enfin à part les situations trivial comme quand x=y ou y=z)

ce genre d'espaces métrique est appelé un espaces ultramétrique, et a des propriété très différente des topologie que tu peux trouver dans des espaces vectorielle normé.

[invitee2abffa7]

Merci infinement Pour Les indications utiles
bon Pour la deuxiéme j ai pensé un Peu sur cette inégalite est ce qu'on Peut
trouver un triangle qui vérifié cette Propriétés?

Merci Pour t on aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Ba dans un espace euclidien si tu prend un triangle x,y,z l'inégalité d(x,y) <= max(d(x,z),d(y,z))

signifie exactement : (x,y) n'est pas le plus grand coté du triangle

donc tu peut trouver trois points qui vérifie ca, mais à part si ton triangle est équilatéral, y a toujour une des trois permutation circulaire des points qui ne vérifiera pas l'inégalité... mais là il est question d'espaces métrique, dans les quel tout les triplet de points points vérifie cette inégalité, ca n'as absoluement rien à voir.

[invite986312212]

dans un espace ultramétrique, tous les triangles sont isocèles pointus. Une application des distances utramétriques est la construction d'arbres hiérarchiques : en phylogénie par exemple la distance génétique entre deux organismes est la distance au plus proche ancètre commun, tu peux vérifier que ça se traduit par l'inégalité ultramétrique.

[invitee2abffa7]

dans un espace ultramétrique, tous les triangles sont isocèles pointus. Une application des distances utramétriques est la construction d'arbres hiérarchiques : en phylogénie par exemple la distance génétique entre deux organismes est la distance au plus proche ancètre commun, tu peux vérifier que ça se traduit par l'inégalité ultramétrique.

salut,
Oui, c'est un bon exemple. on peut résume le fait que si on un espace métrique muni d'une distance qui vérifié ca cette espace est ultramétrique
j ai touvé que un triangle isocéle vérifie cette inégalité ultratriangulaire
Merci Pour l'exemple.