qui implique l'autre
espace metrique => espace normée .ou la réciproque ??
je crois qu'un espace normée est un espace metrique
on peut prendre la distance définie par d(x,y) = || x - y ||
et pour la réciproque ce n'est pas évident de montrer qu'on peut pas fabriquer une norme ??
En effet, on a bien "normé => métrique" en prenant la distance comme tu l'as défini.
La réciproque m'a cependant l'air d'être fausse. En effet il me semble que les espaces normé sont des espaces vectoriels, alors qu'un espace métrique peut-être "un peu n'importe quoi" (une patatoïde tirée d'un espace vectoriel par exemple).
Après je ne vois par exemple pas comment on pourrait construire simplement un espace normé avec (R,d) ou d est la métrique discrète (qui à tout (x,y) de R associe 1 si x différent de y, 0 sinon). Dans ce cas là en effet on ne peut pas prendre N(x) = d(0,x) comme norme vu que ça n'en est pas une...
Si quelqu'un de plus callé que moi pouvait contredire ou compléter ce que je raconte ça ne serait pas de refus ^^
Merci d'avance.
Bonjour thepasboss,
Ce que tu dis est exact, si tu veux t'epargner le probleme de trouver une norme, tu peux te placer directement dans un espace qui n'est pas un espace vectoriel : l'ensemble N des entiers naturels, muni de la topologie discrete (qui s'exprime de facon metrique via la metrique que tu as introduite)
Ah euh oui en effet gwyddon ^^ Merci.
