Espace Métrique Ou Métrisable

[invitee75a2d43]

Bonjour,

je ne saisis toujour pas bien la différence entre un espace métrique et un espace métrisable:

- Un espace métrisable est un espace topologique dont la topologie pourrait être exprimée par une disance. Si on écrit ça, c´est, il me semble qu´on a déjà trouvé la distance en question, donc on peut directement l´appeler espace métrique.

Ou pour être plus directe: Y a-t-il certaines différences décisive entre un espace métrique et un espace métrisable? Ou bien ont-ils les mêmes propriétés?

merci d´avance

chris
-----

[invite57a1e779]

Oui, un espace métrisable est un espace topologique dont la topologie peut être définie par une distance.
Cette topologie a toutes les propriétés d'une topologie métrique.
Mais un espace métrique permet de considérer des propriétés liées à la distance (parties bornées, suites de Cauchy, ...) qu'un espace métrisable ne possède pas, puisque ces propriétés peuvent être différentes pour des distances qui définissent la même topologie.

[invitee75a2d43]

puisque ces propriétés peuvent être différentes pour des distances qui définissent la même topologie.

Là ça m´étonne: si elle définissent une même topologie, elle sont topologiquement équivalentes, donc équivalentes. Donc elles devraient avoir les même propriétés non?

[invite57a1e779]

Là ça m´étonne: si elle définissent une même topologie, elle sont topologiquement équivalentes, donc équivalentes. Donc elles devraient avoir les même propriétés non?

Non les distances peuvent être topologiquement équivalentes, mais pas uniformément équivalentes.

Sur , on définit deux distances par et .
Ces deux distances définissent la même topologie sur , mais pas le même espace métrique :
– est borné pour
, mais pas pour ;
– la suite de terme général est divergente (propriété topologique), elle n'est pas de Cauchy (propriété métrique) pour alors qu'elle l'est pour : l'espace métrique est complet, mais l'espace métrique ne l'est pas.

Donc un espace topologique métrisable a toutes les propriétés topologiques d'un espace métrique (tout point adment une base dénombrable de voisinages par exemple), mais comme on ne précise pas la distance qui définit la topologie, on ne peut pas parler des propriétés purement métriques, et l'on fait donc la différence entre espace métrisable et espace métrique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

ah oui, l´équivalence uniforme, j´ai lu ça quelquepart.

Merci, je vais voir ça de plus près