parties compactes d´un espace métrique

[invitee75a2d43]

Bonjour,

je lis dans mon cours que les parties compactes de IRⁿ sont les fermés bornés.

Peut-on généraliser à tous les métriques?

merci d´avance
-----

[invite57a1e779]

Non, c'est par exemple faux dans les espaces vectoriels normés de dimension infinie, les boules fermées n'y sont jamais compactes (théorème de Riesz).

[invitee75a2d43]

merci de ta réponse. Ma difficulté en ce moment, c´est que j´étudie les espaces topologiques et que j´ai pris pour base un bouquin qui se restreint aux espaces métriques, ce qui fait que très souvent, je ne sais pas exactement quel résultat peut être généralisé aux espaces topologiques quelconques.


D´autre part je n´arrive pas trop à distinguer les propriétés des espaces métriques et des espaces métrisables. Intuitivement, je me dit que puisqu´un espace métrisable "pourrait avoir une distance si il voulait", il ne peut qu´avoir les mêmes propriétés qu´un espace métrique non?

Peut-tu me rassurer sur un point au moins? Il me semble avoir compris que dans un espace compact, une partie A de E est compacte <=> elle est fermée. C´est vrai dans les deux sens?
Je lis dans mon cours que si F est une partie fermée de E, F est compact (=>), et d´autre part, quelques lignes après, dans une espace séparé E, si une partie X de E est compacte, alors elle est fermée (<=)

[invitee75a2d43]

Encore une exemple: Je lis qu´un espace métrique compact est séparable.
Peut-on généraliser aux espaces topologiques quelconques?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Non, c'est par exemple faux dans les espaces vectoriels normés de dimension infinie, les boules fermées n'y sont jamais compactes (théorème de Riesz).

Mais par contre: si une partie A de E (métrique) est compacte, elle est fermée et bornée, mais la réciproque est fausse (voir ton exemple). C´est ça?

[invite769a1844]

Encore une exemple: Je lis qu´un espace métrique compact est séparable.
Peut-on généraliser aux espaces topologiques quelconques?

Je ne pense pas, il me semble que le compact n'est pas séparable, mais je ne suis pas sûr, à voir.