Bonjour,
Soit E un espace métrique, Soit Bo(x,r), Bf(x,r) les boules ouvertes et fermées centrées en x et de rayon r.
La suite suivante est-elle croissante pour l'inclusion ?
Bo(x,r), Int(Bf(x,r)), Adh(Bo(x,r)), bf(x,r)
J'ai un doute pour placer Int(Bf(x,r)), Adh(Bo(x,r)) ?
Je crois pas qu'on puisse dire en général.Envoyé par FAN FAN
Dans (IN,||), Int(Bf(0,1)) = {0,1} tandis que Adh(Bo(0,1)) = {0}
Et il y a plein d'exemples "normaux" où l'inclusion est inverse.
Il y a de quoi. Ils sont évidemment dans Bf(x,r) et contiennent Bo(x,r).
Mais si on prend E={0} U {x ; d(0,x)=r} dans le plan avec une métrique euclidienne par exemple. On a Bo(0,r)={0} adh(Bo(x,r))={x} tandis que Bf(0,r)=E et donc, dans E, Int(Bf(0,r))=E et n'est donc pas inclus dans adh(B0(x,r)).
Si on prend un R-evn, on a l'inclusion inverse.
Si on mixe les deux, E=droite (Oz) U cercle de rayon r dans le plan (Oxy), aucun des deux ne contient l'autre.
Si on veut ajouter comme condition E connexe, on ajoute un rayon entre le centre et le cercle.
EDIT : grillé avec un exemple plus simple en plus.
