distance produit

[invite769a1844]

Bonjour, j'ai un souci avec cet exo:

Soient et deux espaces métriques.

(1) Construisez une distance sur l'espace produit (plusieurs réponses différentes sont possibles).

(2) Est-il vrai qu'une suite de points de est convergente si et seulement si les deux suites et sont convergentes (dans et respectivement)?

(3) Supposons que et donc que . La "fonction distance" est-elle continue?


Bon pour la (1) c'est ok, on peut définir les trois distances canoniques , , qui sont deux à deux équivalentes.

Pour la (2):

quand ,

ie

quand ,

ie

quand ,

ie quand et quand ,

d'où l'équivalence.

Pour la (3) par contre je bloque, j'ai tenté par la caractérisation séquentielle de la continuité, mais je ne débouche sur rien.


merci pour votre aide.
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[invite35452583]

Je crois que tu t'es emmêmé les pinceaux quelque part car cela se fait assez aisément par la caractérisation séquentielle.
(xn,x''n) tend vers (x,x'), tu as montré que cela implique que :
(xn) tend vers x et (x'n) tend vers x'
d((xn,x);(x'n,x'))=max(d_X(xn,x);d_X(x'n,x'))
Les deux suites d_X(xn,x) et d_X(x'n,x') tendent vers 0, la fonction max : RxR->R est continue donc...

[invite57a1e779]

Bonjour, j'ai un souci avec cet exo:

Soient et deux espaces métriques.

(1) Construisez une distance sur l'espace produit (plusieurs réponses différentes sont possibles).

(2) Est-il vrai qu'une suite de points de est convergente si et seulement si les deux suites et sont convergentes (dans et respectivement)?

(3) Supposons que et donc que . La "fonction distance" est-elle continue?


Bon pour la (1) c'est ok, on peut définir les trois distances canoniques , , qui sont deux à deux équivalentes.

Pour la (2):

quand ,

ie

quand ,

ie

quand ,

ie quand et quand ,

d'où l'équivalence.

Pour la (3) par contre je bloque, j'ai tenté par la caractérisation séquentielle de la continuité, mais je ne débouche sur rien.


merci pour votre aide.

Un peu d'inégalité triangulaire : si et , alors
, donc
...

[invite769a1844]

euh bon pour la (3) finalement je crois que j'ai trouvé:

Soit .

Soit une suite de qui tend vers ,

ie quand ,

ie quand .

On a quand .

D'où la continuité de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Un peu d'inégalité triangulaire : si et , alors
, donc
...

oui c'était bien cet argument qui m'avait échappé, merci à vous.

[invite769a1844]

Un peu d'inégalité triangulaire : si et , alors
, donc
...

Donc en fait d est même 2-lipschitzienne, c'est bien ça?

[invite57a1e779]

Donc en fait d est même 2-lipschitzienne, c'est bien ça?

Oui, il faut aller jusqu'à écrire , ce qui ne demande pas un gros effort.

[invite769a1844]

Oui, il faut aller jusqu'à écrire , ce qui ne demande pas un gros effort.

non effectivement

merci God's Breath.

[invitef97cf2c7]

Simple question : dans l'enoncé de la question 3 (voir premier post), ne faut-il pas remplacer d:XxX->R par d:ZxZ->R ?

[invitef97cf2c7]

Non pardon oubliez ça je disais une bêtise !