Continuité dans un compact

[inviteebefa9b6]

Bonjour, j aurai souhait savoir comment prouver , un théorème admis en cours , selon lequel dans (X,d) un espace métrique compact , la distance est cotinue ?
Merci beaucoup.
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[Bruno0693]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question.

Ce qui est sûr est la chose suivante : soit (X,d) un espace métrique non nécessairement compact et , alors l'application , est toujours continue. En effet, cette application est 1-lipschitzienne, comme tu peux le constater facilement à partir de la seconde inégalité triangulaire :

Pour tout , on a :.

L'application est donc toujours continue, quel que soit X (compact ou pas).

Est-ce que cela répond à ta question ?