factorisation et racine de polynomes

[invite1adebb8b]

Bonjour tous le monde.

Dans un exercice traitant sur les polynomes on me demande tout d'abord de factoriser le polynome suivant en y:

y²-2ycos(a)+ , a reel.

J'en viens a déduire que pour etre factorisable, a doit etre congrue a 0 modulo 2Pi, d'ou
y²-2ycos(a)+1= (y-cos(a))² avec a=0[2Pi]

A la question d'apres on pose Pa(z)=Z^2n -2zcos(a)+1 et on me demande de montrer que :

Pa(z)=produit de K=0 a n-1 de (z²-2zcos(a/n+2kPi/n)+)

Et la je ne sais pas trop comment me servir de la question précédente pour montrer l'égalité.

Si vous avez des idées ...
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[invite57a1e779]

on me demande tout d'abord de factoriser le polynome suivant en y

Faut-il factoriser dans R[y] ou dans C[y] ?

Pour les polynômes du second degré, la forme canonique fournit rapidement la factorisation.

[invite1adebb8b]

Il faut factoriser dans C a mon avis , mais il n'y a rien de dit dans l'énoncé.

Sinon ma premiere factorisation est-elle bonne?

Et la pour la question d'apres, y a t-il un lien avec la premiere factorisation ?

[invite57a1e779]

Il faut factoriser dans C a mon avis

Sur C tout polynôme est produit de facteurs du premier degré : il ne peut y avoir aucune condition sur a.

Je répète : forme canonique du trinôme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1adebb8b]

Bon ba c'est dans R alors. Mais c'est bien la premiere qu'on me demande dans quel ensemble on veut factoriser.

et ma factorisation est bonne non? j'ai utiliser implicitment la forme canonique, car j'ai utiliser delta

[invite57a1e779]

Tu factorises pour certaines valeurs de a seulement alors qu'on a visiblement besoin dans la suite d'une factorisation valable pour tout a.

Je re-répète : forme canonique du trinôme...

[invite1adebb8b]

Si on cherche quand ce polynome vaut 0 on s'zpercoit que c'est le cas uniquement quand a=0[2Pi], sinon delta est inférieur a 0 est donc aucune factorisation possible.

Sinon pour la forme canonique j'arrive a : (y-cos(a))² +sin²(a) et la je suis bloqué

[invite57a1e779]

Le corps des nombres complexes permet de factoriser une expression de la forme .

[invite1adebb8b]

Donc on arrive a sa:

(y-cos(a)-isin(a))(y-cos(a)+isin(a))

[invite57a1e779]

Oui, et on peut même utiliser la notation exp(ia).

[invite1adebb8b]

oui donc on a (y-e(ia))(y-e(-ia))
mais je ne sais pas comment m'y prendre pour la question d'apres

[invite1adebb8b]

par réccurence sur n peut etre ?

[invite1adebb8b]

inutile de répondre, j'ai trouver.

Merci (encore une fois )