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Polynomes et factorisation



  1. #1
    valentin0108

    Polynomes et factorisation

    Rebonjour a tous , j'ai un probleme pour cet exercice de niveau premiere S.

    Soit le polynome f[x]=[x-1]2n+1+x2n+1-2x+1[avec n element de N]

    Demontrer que pour tout n de N , il existe un polynome g[x] tel que f[x]=x[x-1][2x-1]g[x].

    Je me doute qu'il faut trouver les racines et factoriser mais je n'ai aucune autre idee

    Merci d'avance.

    -----


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  3. #2
    danyvio

    Re : Polynomes et factorisation

    Regarde si par hasard (?) les différentes valeurs de x qui rendent le produit x[x-1][2x-1] nul ne rendraient pas non plus le [x-1]2n+1+x2n+1-2x+1 nul ....
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  4. #3
    Weensie

    Re : Polynomes et factorisation

    divise les polynômes et trouves en un qui correspond
    .

  5. #4
    valentin0108

    Re : Polynomes et factorisation

    Pour 1 et 0 , cale rend nul mais pas pour 1/2 , mais qu'est ce que je peux en conclure ?

  6. #5
    Weensie

    Re : Polynomes et factorisation

    Que tu peux diviser le polynôme initial par x(x-1) ( au moins )

    le fait qu'il soit divisible par (2x-1) ne signifie pas que 1/2 est une solution puisqu'on doit obtenir un facteur du type : (x- ...)
    .

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    valentin0108

    Re : Polynomes et factorisation

    Ca parait elementaire pour vous mais pouvez vous m'expliquer comment vous procedez pour votre demonstration s'il vous plait ?

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  10. #7
    Médiat

    Re : Polynomes et factorisation

    Citation Envoyé par valentin0108 Voir le message
    Pour 1 et 0 , ca le rend nul mais pas pour 1/2 , mais qu'est ce que je peux en conclure ?
    Si, si c'est bien nul
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    Hamb

    Re : Polynomes et factorisation

    vérifie bien tes calculs, car il est impossible de factoriserton polynôme par 2x-1 si 1/2 n'en est pas une racine.

    @weensie : si le polynôme est divisible par 2x-1, il est aussi divisible par x-1/2

  12. #9
    valentin0108

    Re : Polynomes et factorisation

    J'ai vu ou je m'etais trompe dans mes calculs , c'est bon , ce sont des racines evidentes , maintenant je peux factoriser f[x] par x[x-1][2x-1]g[x] , et je n'ai rien d'autre a dire ?

  13. #10
    Weensie

    Re : Polynomes et factorisation

    @ Hamb : certes mais il peut ne pas etre divisible par deux
    .

  14. #11
    danyvio

    Re : Polynomes et factorisation

    Citation Envoyé par valentin0108 Voir le message
    J'ai vu ou je m'etais trompe dans mes calculs , c'est bon , ce sont des racines evidentes , maintenant je peux factoriser f[x] par x[x-1][2x-1]g[x] , et je n'ai rien d'autre a dire ?
    Ben non.
    Dire qu'un polynome a pour racines a,b,c etc... est équivalent à dire qu'il est divisible par (x-a).(x-b).(x-c) etc..
    le résultat de cette division étant bien sûr un polynome.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  15. #12
    Guillaume69

    Re : Polynomes et factorisation

    Bonsoir

    Est-ce réellement suffisant danyvio ?
    Si c'était moi qui devait traiter l'exercice, je dirais oui. Mais en 1ere S, il n'a pas été démontré que : "a est racine d'ordre k de P <=> P(X)=(X-a)kQ(X), Q(a) ≠0 " si ?

    Guillaume

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