Bonjour,
comment peut-on appréhender la notion d'action d'un groupe G sur un ensemble X ?
J'ai vu que la définition axiomatique était équivalente à se donner un morphisme de G dans le groupe des permutations de X.
Quel est l'idée derrière une telle notion ?
Est-ce que l'idée est d'étudier des transformations (permutations) de l'ensemble X, qui se comportent entres elles comme le groupe G (d'où l'intérêt du morphisme) ?
Ou alors je suis à côté de la plaque ?
Merci.
Oui.Envoyé par morph
Historiquement, c'est l'étude de transformations d'un ensemble X (permutations des racines d'une équation, isométries conservant une figure donnée...) qui a conduit à dégager la notion de groupe. Lorsque la théorie s'est développé, on a gardé l'habitude de représenter les groupes rencontrés dans d'autres situations par des groupes de transformations, qui sont bien connus, et l'on a dégagé la notion d'action d'un groupe sur un ensemble, ainsi que celle de morphisme.
Tu connais, je suppose, la notion d'espace vectoriel, obtenu avec un groupe E auquel on associe un corps K avec les 4 axiomes de l'opération externe KxE -> E.Bonjour,
comment peut-on appréhender la notion d'action d'un groupe G sur un ensemble X ?
J'ai vu que la définition axiomatique était équivalente à se donner un morphisme de G dans le groupe des permutations de X.
Quel est l'idée derrière une telle notion ?
Est-ce que l'idée est d'étudier des transformations (permutations) de l'ensemble X, qui se comportent entres elles comme le groupe G (d'où l'intérêt du morphisme) ?
Ou alors je suis à côté de la plaque ?
Merci.
Je suppose maintenant que E est un simple ensemble, sans structure de groupe et que K n'est plus qu'un simple groupe G (multiplicatif) sans structure de corps.
Cela correspond à un appauvrissement de la structure d'espace vectoriel et cela s'appelle alors "l'action du groupe G sur l'ensemble E" ou encore "structure d'ensemble E muni du groupe d'opérateurs G".
On aurait pu désigner un k-espace vectoriel comme "l'action d'un corps K sur le groupe E".
