Prolongement par continuité en 0

[bidou8610]

Ma question est la suivante :

peut on prolonger par continuité en 0 : x² arctan⁡(1/x)?

Je n'arrive pas à trouver une méthode concrète!

Merci d'avance pour vos réponses!
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[invite57a1e779]

La fonction arctangente est bornée.

[bidou8610]

Oui elle est bornée en -Pi/2 et Pi/2, mais comment en déduire un prolongement en 0, car arctan (0) = 0 mais arctan (1/x)????

[inviteea028771]

Il suffit de majorer :



D'où on déduit facilement que x²arctan(1/x) tend vers 0 en 0, et donc est prolongeable par continuité en 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3143530]

Tu peux considérer que Arctan (infini) = pi/2 donc arctan(1/x) x-> 0 = pi/2 et par conséquent x²arctan(1/x) -> 0 en 0.