Prolongement Par Continuité !!!

[invite1bc6d09b]

Bonjour, Je ne comprends pas ce qu'est le prolongement par continuité d'une fonction. Mon prof m'a donné de la théorie mais je ne capte toujours pas. Est-ce que qqn pourrait m'expliquer ?

Merci D'avance.
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[invite0b269ea8]

Hello
Un exemple qui peut peut être t'aider à comprendre:

Je pose f(x) = exp(-1/x²) qui est définie sur R*. En 0, f n'existe pas, c'est un point "à problèmes". On pourrait s'arrêter là.
Mais si tu traces le graphe tu ne vois pas de discontinuité en 0 (comme avec la fct inverse par exemple) !
on calcule : lim f(x --> 0+) = 0 car -1/x² tend vers -infini et "exp(-infini) = 0"
et de même en 0-
Ainsi, si on pose g(x) = f(x) aux points où f est définie (c'est-à-dire sur R*) et g(0) = 0, on a défini une fonction g :
* qui coïncide avec f sur Df = R* (c'est-à-dire que f est une restriction de g, ou encore que g est un prolongement de f)
* et continue.
C'est ça qu'on appelle un prolongement par continuité

J'espère que ça t'aide
Raphaël