sommation par prolongement analytique

[invite91417959]

Bonjour

Je me demandais comment on peut "calculer" la somme des 1/n par prolongement analytique car les sommes
lim_s->0 et lim_s->1 divergent.

Sinon j'avais l'idée d'utiliser et d'essayer de l'étendre sur C.
Mais j'arrive pas à trouver l'ordre du pole en s=1
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[invite4ef352d8]

Salut !


mais la sommes des 1/n diverge justement !

[invite91417959]

Les methodes de sommation par prolongement analytique permettent d'attribuer une "somme" à une somme divergente
exemple:



Il s'agit d'attribuer à la somme une fonction méromorphe que l'on définit seulement sur un ouvert sur lequel la série converge puis on effectue une extension analytique pour en déduire la somme.

Je proposais ici d'étendre la fonction qui est méromorphe et bien définie pour Re(s)>1. Le but est alors de calculer

[invite10a6d253]

En faisant une somme de Borel, ça devrait marcher non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite91417959]

A vrai dire je sais pas trop comment on fait.

En plus je ne sais pas si on trouverait une belle formule
Et puis je ne connais toujours pas l'ordre du pole s=1 de ma fonction

[invite10a6d253]

Comment sais-tu que la fonction est méromorphe en s=1. Elle pourrait avoir une singularité essentielle, non ?

[invite91417959]

J'en sais rien.
Mais je pense qu'elle doit se comporter un peu comme Zeta qui a un pole d'ordre 1 en 1

[invite4ef352d8]

jene m'y connait pas trop en analyse complexe (en fait, j'en ai jammais fait en cours)


mais f: s->somme 1/(n*(ln n)^s) de n=2 a +inf n'est a mon avis pas meromorphe en 1 :

si on l'etudie en tant que fonction de ]1,+inf[ dans R, alors en 1 il me semble bien que

f(1+s)~ - ln s

(je me trompe peut-etre car je n'arrive plus a le remontré :S )


si f etait meromorphe en 1, on devrait pas avoir f(1+s) ~a/s^k ?

[invite4ef352d8]

hum... en fait mon equivalent semble faux :S

mais de toute facon il faut determiner cette equivalent non ? : si c'ets bien meromorphe on trouvera l'ordre et le residu du pole, et si c'est pas meromorphe sa ce vera vite !

[invite4ef352d8]

en fait ouai mon equivalent etait bien faux :


j'ai repris mes calcule et je trouve que en 1 la fonction est equivalente a 1/(x-1)

donc si la fonction est effectivement meromorphe (c'est bien parti pour apperement) elle à un pole d'ordre 1 et de residu 1 en 1 !


(j'ai obtenu cela en etudiant l'integral de meme terme : dx/x*(ln x)^s entre a et +inf (a=2 ou e par exemple) et la difference entre l'integral et la serie ! )

[invite4793db90]

Salut,

Je proposais ici d'étendre la fonction qui est méromorphe et bien définie pour Re(s)>1. Le but est alors de calculer

Pour la fonction , on a une équation fonctionnelle qui permet de prolonger la somme à .

Pour ta série, il faudrait de même trouver une équation fonctionnelle, mais rien ne garantit a priori la convergence en 0.

Cordialement.