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sommation par prolongement analytique



  1. #1
    unepierre

    sommation par prolongement analytique


    ------

    Bonjour

    Je me demandais comment on peut "calculer" la somme des 1/n par prolongement analytique car les sommes
    lims->0 et lims->1 divergent.

    Sinon j'avais l'idée d'utiliser et d'essayer de l'étendre sur C.
    Mais j'arrive pas à trouver l'ordre du pole en s=1

    -----

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  3. #2
    Ksilver

    Re : sommation par prolongement analytique

    Salut !


    mais la sommes des 1/n diverge justement !

  4. #3
    unepierre

    Re : sommation par prolongement analytique

    Les methodes de sommation par prolongement analytique permettent d'attribuer une "somme" à une somme divergente
    exemple:



    Il s'agit d'attribuer à la somme une fonction méromorphe que l'on définit seulement sur un ouvert sur lequel la série converge puis on effectue une extension analytique pour en déduire la somme.

    Je proposais ici d'étendre la fonction qui est méromorphe et bien définie pour Re(s)>1. Le but est alors de calculer

  5. #4
    edpiste

    Re : sommation par prolongement analytique

    En faisant une somme de Borel, ça devrait marcher non ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    unepierre

    Re : sommation par prolongement analytique

    A vrai dire je sais pas trop comment on fait.

    En plus je ne sais pas si on trouverait une belle formule
    Et puis je ne connais toujours pas l'ordre du pole s=1 de ma fonction

  8. #6
    edpiste

    Re : sommation par prolongement analytique

    Comment sais-tu que la fonction est méromorphe en s=1. Elle pourrait avoir une singularité essentielle, non ?

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  10. #7
    unepierre

    Re : sommation par prolongement analytique

    J'en sais rien.
    Mais je pense qu'elle doit se comporter un peu comme Zeta qui a un pole d'ordre 1 en 1

  11. #8
    Ksilver

    Re : sommation par prolongement analytique

    jene m'y connait pas trop en analyse complexe (en fait, j'en ai jammais fait en cours)


    mais f: s->somme 1/(n*(ln n)^s) de n=2 a +inf n'est a mon avis pas meromorphe en 1 :

    si on l'etudie en tant que fonction de ]1,+inf[ dans R, alors en 1 il me semble bien que

    f(1+s)~ - ln s

    (je me trompe peut-etre car je n'arrive plus a le remontré :S )


    si f etait meromorphe en 1, on devrait pas avoir f(1+s) ~a/s^k ?

  12. #9
    Ksilver

    Re : sommation par prolongement analytique

    hum... en fait mon equivalent semble faux :S

    mais de toute facon il faut determiner cette equivalent non ? : si c'ets bien meromorphe on trouvera l'ordre et le residu du pole, et si c'est pas meromorphe sa ce vera vite !

  13. #10
    Ksilver

    Re : sommation par prolongement analytique

    en fait ouai mon equivalent etait bien faux :


    j'ai repris mes calcule et je trouve que en 1 la fonction est equivalente a 1/(x-1)

    donc si la fonction est effectivement meromorphe (c'est bien parti pour apperement) elle à un pole d'ordre 1 et de residu 1 en 1 !


    (j'ai obtenu cela en etudiant l'integral de meme terme : dx/x*(ln x)^s entre a et +inf (a=2 ou e par exemple) et la difference entre l'integral et la serie ! )

  14. #11
    martini_bird

    Re : sommation par prolongement analytique

    Salut,

    Citation Envoyé par unepierre Voir le message
    Je proposais ici d'étendre la fonction qui est méromorphe et bien définie pour Re(s)>1. Le but est alors de calculer
    Pour la fonction , on a une équation fonctionnelle qui permet de prolonger la somme à .

    Pour ta série, il faudrait de même trouver une équation fonctionnelle, mais rien ne garantit a priori la convergence en 0.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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