indépendance d'évènements

[invitea2dd218e]

Bonjour,

J'ai un probleme en probabilités et indépendance d'évènements! Voici mon problème et pardonnez moi d'avance pour l'écriture pas très lisible!

X~exp(a) et Y~exp(b)

Z~exp(a+b) avec Z=X+Y donc P(Z<=z)=1-exp[-(a+b)z]

On connait P(X<=Y) qui vaut a/(a+b).

Je cherche à montrer que les évènements suivants sont indépendants: M=(X<Y) et Q=(Z>=t).

Je sais qu'il faut que je prouve que P(M et Q)=P(M) * P(Q)= a/(a+b) * exp[-(a+b)t] mais je n'arrive pas à décomposer convenablement P(M et Q).

Je galère mais je sens que je suis pas loin!

Merci de m'éclairer si vous en êtes capable!
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[invite986312212]

bonjour,

si X et Y sont indépendantes, alors Z=X+Y ne suit pas la loi exponentielle. Si elles le sont et que Z suit la loi exponentielle de paramètre a+b, c'est sans-doute que Z=min(X,Y), vérifie ton énoncé.

[invitea2dd218e]

Bonjour,

Effectivement, X et Y sont independants et Z=min(X,Y).
J'ai encore cherché mais je n'aboutis pas à l'indépendance. As tu une idée qui me mettrait sur la voie?

Merci d'avance.