bonsoir, je voudrais vous votre avis et votre aide sur la demonstration suivante, il s'agit de montrer que pour P polynome de degré n et a0,..an des réels 2 à 2 distincts, que (P(X+a0),..,P(X+an)) ou la famille des P(X+ai) i compris entre 0 et n, est une base de Rn[X]
Pour cela, j'avais l'idée de lancer une récurrence, et un de mes camarades m'a suggéré ce raisonnement, mais est t il exempt de fautes ? si non aidez moi à affiner la démonstration, mais il me semble bien que quelquechose cloche....
Gn : "pour tout (n+1)-uplet (a0,...,an) de R^(n+1) avec les ai distincts 2 à 2 on a pour tout polynôme P
de degré n que (P(x+a1),...,(P(x+an)) est une base de Rn[X] "
H0 est vraie.
On suppose G(n-1) vraie (pour n fixé). On se donne un (n+1)-uplet de R^n (a0,..,an) avec les ai distincts 2 à 2 et un polynôme P de degré n et ( P(x+a0),...,P(x+an))
on suppute que a1>a2>...>an
On a alors d'après le Theoreme des accroissements finis P(X+a1)-P(X+a2)=(a1-a2)P'(c1) où c1 est tel que x+a2< c1 <x+a1 donc c=X+a'1
et P' est de degré (n-1).
de meme avec les differents ai a(i+1)
on a donc que la famille (P'(x+a'1),...,P'(x+a'(n-1)) verifie les hypoyhèse
de G(n-1) c'est donc une base de Rn-1[X].
Donc (P(x+a1)-P(x+a2),..,P(x+a(n-1))-P(x+an)) est une base de Rn-1[X].
donc, Rn-1[x] est inclus dans l'espace engendré pas la famille (P(x+a1),...,P(x+an)) et P(x+a1) est de degré n , d'où
Rn[X] est inclus dans l'espace engendré par la famille et par argument dimension la famille est bien une base de Rn[X]
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