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Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base




  1. #1
    benjy_star

    Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Bonjour à tous.

    Je suis en train de lire un livre d'introduction à la mécanique quantique, qui est très bien fait du point de vue mathématique, les notions sont amenées très lentement, mais il a un gros défaut : il manque cruellement d'exemples concrets.

    J'aimerais trouver des exemples concrets, basiques sur les notions suivantes :
    • Observable
    • Valeur propre
    • Produit hermitien
    • Etat propre
    • Vecteur propre

    Je me rends compte que je balance ces "concepts" un peu comme ça, mais je suis encore assez largué j'avoue.

    -----


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  3. #2
    mariposa

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Bonjour à tous.

    Je suis en train de lire un livre d'introduction à la mécanique quantique, qui est très bien fait du point de vue mathématique, les notions sont amenées très lentement, mais il a un gros défaut : il manque cruellement d'exemples concrets.

    J'aimerais trouver des exemples concrets, basiques sur les notions suivantes :
    • Observable
    • Valeur propre
    • Produit hermitien
    • Etat propre
    • Vecteur propre

    Je me rends compte que je balance ces "concepts" un peu comme ça, mais je suis encore assez largué j'avoue.
    Bonjour,

    Et bienvenue dans le monde fascinant de la MQ.


    Je suppose que tu as compris les aspects mathématiques des concepts de ta liste qui relève d'un cours d'algébre linéaire. Si ce n'est pas le cas c'est à ce niveau qu'il faut discuter.

    Sinon pour comprendre le rapport avec la physique je te suggère d'aborder directement le problème d'un électron coincé entre 2 murs de potentiel infini distants de a.

    Ce problème, mathématiquement très simple, permet de concrétiser le langage mathématique.

  4. #3
    mtheory

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Bonjour à tous.

    Je suis en train de lire un livre d'introduction à la mécanique quantique, qui est très bien fait du point de vue mathématique, les notions sont amenées très lentement, mais il a un gros défaut : il manque cruellement d'exemples concrets.

    J'aimerais trouver des exemples concrets, basiques sur les notions suivantes :
    • Observable
    • Valeur propre
    • Produit hermitien
    • Etat propre
    • Vecteur propre

    Je me rends compte que je balance ces "concepts" un peu comme ça, mais je suis encore assez largué j'avoue.
    Hello !

    Tu lis quel livre exactement ? J'a plusieurs exemple de bouquins sur la MQ qui traitent le problème sous des angles différents. En fonction de ce que tu cherches je pourrais affiner les choix à te proposer.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman


  5. #4
    vaincent

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Bonjour à tous.
    • Observable
    • Valeur propre
    • Produit hermitien
    • Etat propre
    • Vecteur propre
    Une observable est une quantité physique mesurable qui aura le statut d'opérateur hermitien en MQ. L'énergie par exemple. (représentée par le Hamiltonien).

    Un vecteur propre est une direction conservée au cours d'une transformation, c'est-à-dire lorsqu'on lui applique une fonction, et donc l'action d'un opérateur. Par exemple prend un ballon bien rond. On lui "attache" une infinité de vecteurs qui vont du centre vers la surface. Tu lui appliques une force (avec la main par exemple) sur son sommet. Le ballon rond va se transformer en un ballon de rugby (ellipsoïde). Quelles sont les vecteurs conservées(ou simplement contractés ou dilatés mais de même direction ) au cours de cette transformations ? Les vecteurs colinéaires à la force verticale (vers le bas) ont conservés leur direction mais ont été contractés. Le facteur de contraction représente la valeur propre de la transformation (la force qui appuie vers le bas), de l'opérateur donc. Egalement tous les vecteurs de l'équateur ont conservés leur direction mais ont été dilatés. Encore une fois le facteur de dilatation représente la valeur propre de l'opérateur, avec ses vecteurs propres associés. En MQ les valeus propre d'un opérateur sont ce qu'on va mesurer en pratique. Les valeurs propres du Hamiltonien sont donc les énergies que va prendre le système dans tel ou tel état (propre). exemple : niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène (plus exactement de l'électron de cet atome).
    Le produit scalaire hermitien quant à lui est une généralisation du produit scalaire usuel dans un espace de Hilbert. C'est purement mathématique. En MQ si on travail avec des opérateurs hermitien c'est pour être cohérent avec l'interprétation probabiliste de la fonction d'onde.

  6. #5
    benjy_star

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Je suppose que tu as compris les aspects mathématiques des concepts de ta liste qui relève d'un cours d'algébre linéaire.
    Non, justement. Je n'ai pas été jusque là en maths, et je crois que c'est la que ça pêche. Ce notions sont nouvelles pour moi, et j'aimerais les manipuler du point vue mathématique.

    Citation Envoyé par mtheory Voir le message
    Tu lis quel livre exactement ? J'a plusieurs exemple de bouquins sur la MQ qui traitent le problème sous des angles différents. En fonction de ce que tu cherches je pourrais affiner les choix à te proposer.
    Je lis : Mes premiers pas en mécanique quantique. C'est vraiment extrêmement basique, et ça s'adresse à quelqu'un qui a un niveau termS en maths, ce qui est mon cas. Malheureusement, autant les concepts mathématiques sont bien introduits, autant il n'y a presque pas d'exemple concret...

    Et dans la mesure du possible, j'ai une préférence pour un lien internet plutôt qu'un livre, au moins pour les débuts, sauf si quelqu'un connait un livre très bien expliqué, avec de nombreux exemples et qui part du niveau termS+, en prenant le temps d'expliquer les concepts de base.


    Citation Envoyé par vaincent Voir le message
    Une observable [...] fonction d'onde.
    Merci beaucoup pour cette explication ! Mais encore une fois, j'aurais besoin d'un exemple mathématique. Mais ton explication me permet quand même d'y voir plus clair, merci !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mtheory

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Quand on écrit une loi en physique classique, on suppose plus ou moins implicitement que les variations dans l'espace et dans le temps des grandeurs physiques sont très similaires à celles des points matériels.

    En plus quand on mesure une grandeur physique, on le fait plus ou moins indirectement par l'effet que cela a sur le mouvement d'un point matériel avec un transfert d'impulsion et d'énergie. La température, c'est la dilatation d'un thermomètre à gaz donc un changement de position de la matière avec un transfert impulsion/énergie. Un champ électrique c'est l'effet d'une force sur une particule chargée en un point de l'espace etc...

    La majeur partie des équations d'évolutions de la physique classiques sont donc mathématiquement identiques à un système mécanique avec un ensemble discret ou continue de points matériels.

    Lorsque tu décris des équations d'évolutions de champs, comme des équations de Laplace, Poisson ou d'Alembert, tu va trouver des équations linéaires avec des solutions qui s'ajoutent comme dans le cas de l'analyse de Fourier. On a donc chercher à généraliser pour plein de champs décrivant des tas de situations physiques l'analyse de Fourier. On trouve alors des modes propres d'excitations de ces champs avec des fréquences discrètes et des fonctions de bases, des harmoniques, similaires à cos mx, sin mx etc...

    Si l'on veut démontrer des théorèmes d'analyse harmonique généraux valables pour plein d'équations de champs linéaires avec pleins de cas possible (guide d'onde carré, octogonale, planète sphérique ou ellipsoïdal, conduction de la chaleur dans une barre etc...) on est amené à abstraire une analyse harmonique générale avec des notions de fonctions propres et de valeurs propres générales. C'est une sorte de mécanique analytique des champs de grandeurs physiques générale. On introduit donc un espace vectoriel de fonction et un produit scalaire pour retrouver le calcul des coefficients des développements de Fourier.

    Maintenant, la mécanique ondulatoire montre qu'il faut reformuler les lois d'évolutions dans le temps et l'espace des points matériels et qu'en fait il n'y a ni ondes ni particules mais quelques chose de plus générale. Cela implique que les modèles mécaniques des grandeurs physiques doivent voire leurs équations généralisées. En plus si l'énergie est quantifiée, comme toutes les grandeurs physiques sont implicitement définies opérationnellement par des transferts d'énergies/impulsions la modification quantique des lois DOIT être générale et universelle. Tu vas donc développer un formalisme de onde corpuscule abstrait avec une analyse de Fourier encore plus abstraite valable pour plein de système physique.

    Si les valeurs physiques n'évoluent plus comme des particules et des ondes classiques mais que tu as un ensemble de mesure des phénomènes quantiques avec des particules et des ondes, tu peux te rabattre sur une vision thermodynamique des lois de la physique. Les observable sont en quelque sorte des variables thermodynamiques décrivant non plus des échanges de chaleur ou de travail avec un système sans supposer qu'il soit composé d'atomes mais bien les échanges d'impulsions énergies entre les appareils de mesure classiques décrit par des ondes et des particules classiques avec les système quantique.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  9. #7
    mtheory

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Non, justement. Je n'ai pas été jusque là en maths, et je crois que c'est la que ça pêche. Ce notions sont nouvelles pour moi, et j'aimerais les manipuler du point vue mathématique.

    Je lis : Mes premiers pas en mécanique quantique. C'est vraiment extrêmement basique, et ça s'adresse à quelqu'un qui a un niveau termS en maths, ce qui est mon cas. Malheureusement, autant les concepts mathématiques sont bien introduits, autant il n'y a presque pas d'exemple concret...

    Et dans la mesure du possible, j'ai une préférence pour un lien internet plutôt qu'un livre, au moins pour les débuts, sauf si quelqu'un connait un livre très bien expliqué, avec de nombreux exemples et qui part du niveau termS+, en prenant le temps d'expliquer les concepts de base.

    Tu devrais regarder le cours de Feynman et "Quantique rudiments" de Balibard et Levy Leblond.

    Dans une bonne bibli tu devrais aussi trouver "Physique atomique" de Chpolski qui est pas mal du tout pour comprendre qq bricoles aux notions d'opérateurs
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

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  11. #8
    mariposa

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Non, justement. Je n'ai pas été jusque là en maths, et je crois que c'est la que ça pêche. Ce notions sont nouvelles pour moi, et j'aimerais les manipuler du point vue mathématique.

    Si j'ai bien compris tu es en terminal S.

    Pour comprendre la physique de la MQ il faut avoir un bagage minimum en algébre linéaire qui normalement s'apprend en BAC + 1. Il y a très peu de choses a savoir mais ce peu doit être bien compris.

    Je me permet de te poser quelques questions simples à répondre par oui ou par non.

    1- Sais-tu additionner et multiplier des matrices carrés?
    2-Soit un vecteur exprimé dans une base orthonormée. Sais-tu exprimer ce même vecteur dans une autre base?
    3- Qu'est qu'un opérateur?
    4- comment représenter un opérateur dans une base déterminée?
    5- Comment représenter le même opérateur dans un changement de base?
    6- Qu'est-ce que le produit scalaire de 2 vecteurs et surtout à quoi çà sert?

    7- Si je te dis que les fonctions sin () et cos () sont 2 vecteurs orthogonaux. Comment réagis-tu?

    Toutes ces questions pour simplement pour jauger tes difficultés et d'aider dans la bonne direction.

    e lis : Mes premiers pas en mécanique quantique. C'est vraiment extrêmement basique, et ça s'adresse à quelqu'un qui a un niveau termS en maths, ce qui est mon cas. Malheureusement, autant les concepts mathématiques sont bien introduits, autant il n'y a presque pas d'exemple concret...

    J'ai souvent conseillé ce livre sans l'avoir lu. J'ai fais entièrement confiance à Basdevant (le préfacier) pour sa double compétence professionnelle et pédagogique. J'ai eu en courrier privé des retours positifs sur ce livre, aussi je suis étonné qu'il n'y a pas d'exemples simples. En es-tu sûr?


    Et dans la mesure du possible, j'ai une préférence pour un lien internet plutôt qu'un livre, au moins pour les débuts, sauf si quelqu'un connait un livre très bien expliqué, avec de nombreux exemples et qui part du niveau termS+, en prenant le temps d'expliquer les concepts de base.

    Comme je l'ai déjà dit l'exemple simple standard est l'électron dans un puits de potentiel. C'est de mon point de vue l'exemple le plus simple mathématiquement et lu plus riche pour voir comment fonctionne le langage de la MQ dans un contexte physique.

  12. #9
    benjy_star

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Wahou ! Merci mtheory pour cette explication, c'est énorme !

    Si j'ai bien compris tu es en terminal S.
    Pas vraiment, je suis prof de physique chimie, mais j'ai une licence de chimie et j'ai appris la physique seul, à la maison. Donc on va dire que niveau algèbre, j'ai un "bon niveau terminale S".

    1- Sais-tu additionner et multiplier des matrices carrés? J'ai su le faire, il me semble que c'était pas bien méchant.
    2-Soit un vecteur exprimé dans une base orthonormée. Sais-tu exprimer ce même vecteur dans une autre base? Pareil
    3- Qu'est qu'un opérateur? Je crois voir l'idée.
    4- comment représenter un opérateur dans une base déterminée? Je suis pas sur de savoir faire.
    5- Comment représenter le même opérateur dans un changement de base? Idem.
    6- Qu'est-ce que le produit scalaire de 2 vecteurs et surtout à quoi çà sert? Pas de soucis.

    7- Si je te dis que les fonctions sin () et cos () sont 2 vecteurs orthogonaux. Comment réagis-tu? Ça ne m'étonne pas, je pense au cercle trigonométrique. Mais c'est peut-être une erreur...

    J'ai eu en courrier privé des retours positifs sur ce livre, aussi je suis étonné qu'il n'y a pas d'exemples simples. En es-tu sûr?
    Il y a un ou deux exemples simples, toujours les mêmes, mais il ne me parlent pas en fait. Des histoire de |gauche> ou |droite> et des choses pas toujours bien définies... Ce livre est très bien, mais les exemples sont, pour moi, bien trop peu nombreux et pas assez différents. Mais je confirme que c'est un excellent livre d'introduction, mais il en faudrait un autre à côté quoi, si l'on veut aller plus loin.

    Comme je l'ai déjà dit l'exemple simple standard est l'électron dans un puits de potentiel. C'est de mon point de vue l'exemple le plus simple mathématiquement et lu plus riche pour voir comment fonctionne le langage de la MQ dans un contexte physique.
    Bon, je pars à la recherche de cette bête !

  13. #10
    mariposa

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Wahou ! Merci mtheory pour cette explication, c'est énorme !

    Pas vraiment, je suis prof de physique chimie, mais j'ai une licence de chimie et j'ai appris la physique seul, à la maison. Donc on va dire que niveau algèbre, j'ai un "bon niveau terminale S".

    1- Sais-tu additionner et multiplier des matrices carrés? J'ai su le faire, il me semble que c'était pas bien méchant.
    2-Soit un vecteur exprimé dans une base orthonormée. Sais-tu exprimer ce même vecteur dans une autre base? Pareil
    3- Qu'est qu'un opérateur? Je crois voir l'idée.
    4- comment représenter un opérateur dans une base déterminée? Je suis pas sur de savoir faire.
    5- Comment représenter le même opérateur dans un changement de base? Idem.
    6- Qu'est-ce que le produit scalaire de 2 vecteurs et surtout à quoi çà sert? Pas de soucis.

    7- Si je te dis que les fonctions sin () et cos () sont 2 vecteurs orthogonaux. Comment réagis-tu? Ça ne m'étonne pas, je pense au cercle trigonométrique. Mais c'est peut-être une erreur...

    OK, je comprend la situation.

    Dans l'immédiat je pars et je vois comment je vais m'y prendre ultérieurement. Le fait que tu sois prof va beaucoup aider à adapter la démarche.

    Accessoirement:.Aurais-tu une idée pour quoi j'ai écris sin () et non sin(x)? (le but de la question est de comprendre ce qu'est un espace de Hilbert qui est au cœur du formalisme de la MQ


    A bientôt.

  14. #11
    benjy_star

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Oui, j'ai compris. Sin() est un opérateur, et sin(x) est la fonction appliquée à la variable x. Je sens que je suis pas super rigoureux !

  15. #12
    mariposa

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Oui, j'ai compris. Sin() est un opérateur, et sin(x) est la fonction appliquée à la variable x. Je sens que je suis pas super rigoureux !
    Il y a quelquechose comme çà.

    y = sin (x) est fonction qui a x fait correspondre y

    Espace de fonctions.


    Par contre sin() peut devenir avec cos() 2 vecteurs et former un espace vectoriel.

    En effet on peut écrire:

    F = A sin() + B cos()

    où A et B sont 2 constantes quelconques.

    En MQ on écrira cette expression sous la forme:

    |F> = A.|sin> + B.|cos>


    Pour bien montrer que |f> est un vecteur et |sin> et |cos> sont des vecteurs de base de l'espace vectoriel.

    On sait que exp (i.x) = cos x + i.sin x

    On écrira en MQ

    |exp> = i.|sin> + |cos >

    Donc le vecteur |exp> a pour composantes (i,1) dans la base {|sin>, |cos>}

    Tu remarqueras que les composantes A et B peuvent prendre des nombres complexes. Ceci est très importants car le cadre mathématique de la MQ sont des espaces de fonctions dont les composantes sont des nombres complexes.

    Le produit scalaire.

    Est-ce que les vecteurs |sin> et |cos> sont orthogonaux?

    La réponse n'existe pas tant que l'on a pas définit un produit scalaire.

    On définit le produit scalaire de 2 fonctions f(x) et g(x) sous la forme:


    Integrale de f(x).g(x) .dx qui est bien un scalaire

    Avec cette définition tu verifieras que les fonctions cos(x) et sin(x) sont orthogonales puisque le produit scalaire est nul (en prenant un interavale de 0 à2.Pi. Tu peux donc faire un dessin dans un plan ou |sin> et |cos> sont perpendiculaires

    La représentation matricielle des vecteurs et des scalaires.

    On représente les composantes de |F> par un vecteur colonne (A,B)

    On définit un autre vecteur noté <F| par un vecteur ligne (A*, B*)

    où A* et le complexe conjugué de A

    Le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne donne un scalaire.

    Donc le produit scalaire de 2 fonctions |G> et |F> s'écrira sous la forme:

    <G|F>

    Si tu remplaces les expressions par la représentation matricielle ligne colonne tu auras la valeur du produit scalaire.

    Bien entendu si tu prends <F|F> tu as le module (la longueur) au carré de F

    Exercice.

    Quel est le module de |exp> ?

    Il faut calculer <exp|exp>

    et développer|exp> dans la base |sin> et |cos>

    A toi de jouer.

    --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Ce qu'il faut retenir est que le cadre mathématique de la MQ ce sont les espaces de Hilbert. Les espaces de Hilbert sont des espaces vectoriels de fonctions sur les quels on a définit un produit scalaire.
    --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Note: En fait ceci est la définition des espaces préhilbertiens. Il manque une condition topologique sans interet pour l'instant.
    Dernière modification par mariposa ; 06/12/2009 à 17h06.

  16. #13
    benjy_star

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Wahou ! C'est super !

    J'imprime tout ça, et je me penche sur la question demain !

    Merci beaucoup !!

  17. #14
    mariposa

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Wahou ! C'est super !

    J'imprime tout ça, et je me penche sur la question demain !

    Merci beaucoup !!
    A travers cette présentation tu as automatiquement des repères pour savoir quoi étudier du point de vue mathématique (algébre linéaire).

    Pour quand même avoir un petit gout de physique, voici quelques précisions:

    En physique classique pour une particule ponctuelle on a la loi d'évolution:

    d/dt V = F/m
    d/dt R = V

    C'est la loi de Newton présentée différemment. Pourquoi?

    Cette loi indique que l'état d'une particule à l'instant t est entièrement déterminée par 2 vecteurs V et R soient 6 composantes qui définissent un espace vectoriel de dimensions 6 que l'on appelle espace des phases.

    Il est facile de se représenter l'évolution de la particule dans l'espace des phases comme une courbe paramétrée par le temps.


    Par exemple pour une particule contrainte a se déplacer sur une droite l'espace des phases sera de dimension 2. On aura un vecteur:

    W (t) de composantes x(t),v(t)


    Et en MQ?

    En MQ l'évolution de la particule sera représentée par un vecteur |Fi(t)> qui évolue dans un espace de Hilbert (en lieu et place de l'espace de l'évolution du vecteur W(t) dans l'espace de phases de la mécanique classique)

    En mécanique classique l'évolution du vecteur W(t) est déterminée par la loi de Newton. La question est donc:

    1- Qu'elle est la loi qui détermine l'évolution de |Fi(t).

    2- Quel est le rapport entre le vecteur abstrait de l'espace de Hilbert |Fi(t)> et les mesures expérimentales.


    Pour cela il nous manque un concept mathématique qui est celui d'opérateur

    On montre que la loi d'évolution de |Fi(t)> est régit par une équation de la forme:

    i.h.d/dt |Fi(t)> = H.|Fi(t)>

    H est l'opérateur qui régit l'évolution de |Fi(t)>

    Cette loi joue le role en MQ équivalente à la loi de Newton en mécanique classique.

  18. #15
    pepejy

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    whaou!!

    Je vous (Mariposa) trouve parfois un peu pontifiant (mais c'est juste mon impression), mais quand vous vous y mettez, c'est du bel ouvrage.
    be seeing you, number 6!

  19. #16
    vaincent

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message

    En physique classique pour une particule ponctuelle on a la loi d'évolution:

    d/dt V = F/m
    d/dt R = V
    Une petite question mariposa, si tu ne connais pas le LaTeX, dans quel language écris-tu tes articles ?

  20. #17
    benjy_star

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Je pense que c'est juste plus simple d'utiliser le gras plutôt que les vecteurs !

    Plus rapide !

  21. #18
    mariposa

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par vaincent Voir le message
    Une petite question mariposa, si tu ne connais pas le LaTeX, dans quel language écris-tu tes articles ?
    Bonsoir,

    Quand j'écrivais des articles, il y a déjà longtemps, c'était ma secrétaire (avec une machine spécialisée) ou les thésards qui faisaient ce travail.

    Je suis pleinement conscient qu'il faudrait que je mette au Latex. Patience, çà va venir.

  22. #19
    vaincent

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Je pense que c'est juste plus simple d'utiliser le gras plutôt que les vecteurs !

    Plus rapide !
    Je suis d'accord, si je peux éviter le LaTeX ici, je le fait. La question que je posais à mariposa n'était pas directement lié à ce que j'ai cité, juste une interrogation comme ça en passant !

  23. #20
    vaincent

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Bonsoir,

    Quand j'écrivais des articles, il y a déjà longtemps, c'était ma secrétaire (avec une machine spécialisée) ou les thésards qui faisaient ce travail.

    Je suis pleinement conscient qu'il faudrait que je mette au Latex. Patience, çà va venir.
    Tu n'écris plus d'articles ?? Je croyais que tu étais encore chercheur à l'heure actuelle

  24. #21
    benjy_star

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Bon je viens de m'y replonger, à froid, c'est toujours un peu plus clair.

    Et donc, je te remercie Mariposa pour ces explications !

    Exercice :

    Pour trouver le module de |exp>, je calcule :

    <exp|exp> = (-i ; 1)* (i ; 1) = -i² + 1 = 2

    Je détaille les calculs, des fois que.

    Questions :

    1. Tu dis que pour connaître l'orthogonalité de 2 fonctions, il faut calculer l'intégrale, mais tu ne précises pas sur quel intervalle .

    2. Je n'arrive pas à trouver d'exercices sur une particule dans un puit de potentiel, sur le net, avec une super correction...

    3. Si tu as d'autres exemples de ce genre, je suis partant, où si tu sais où je peux en trouver !

    Encore un grand merci !

  25. #22
    mariposa

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Bon je viens de m'y replonger, à froid, c'est toujours un peu plus clair.

    Et donc, je te remercie Mariposa pour ces explications !

    Exercice :

    Pour trouver le module de |exp>, je calcule :

    <exp|exp> = (-i ; 1)* (i ; 1) = -i² + 1 = 2

    Je détaille les calculs, des fois que.
    Bonjour,

    C'est çà et il est important de bien détailler le calcul.

    C'est une façon dans le contexte de bien voir les fonctions |sin> et |cos> comme 2 vecteurs perpendiculaires et non comme des fonctions qui varient périodiquement.

    De même avoir présent à l'esprit que | > est représenté par une matrice colonne et < | par une matrice ligne.

    ______________________________ ______________________________ ______
    Exercice formel très important pour la MQ.

    Soit une base de fonctions d'un espace vectoriel de Hilbert de dimensions N sous-entendu par une base orthonormée [1>, |2>,.........|N>


    1- Que signifie l'expression?

    |m><n|

    où |m> et |n> sont 2 vecteurs de la base

    Cherche la solution en pensant matrices.

    2- Que signifie l'expression?

    |n><n|

    3- Que signifie l'expression?

    S |n><n| où S signifie somme sur toutes les valeurs de n de 1 à N


    Questions :

    1. Tu dis que pour connaître l'orthogonalité de 2 fonctions, il faut calculer l'intégrale, mais tu ne précises pas sur quel intervalle .
    Je t'avais indiqué que pour les sinus et cos il fallait intégrer sur une période soit entre 0 et 2.Pi. Si, tu fais le calcul du module de |cos> tu trouveras que celui-ci n'est pas égal à, 1. Pour des raisons physiques d'interprétation (en rapport avec les probabilités il faut que la norme des fonctions de base soit égal à 1. il faut donc mettre un facteur devant |cos> de sorte que le module soit égal à 1. On dit que l'on a normaliser l'état | >.

    a partir des fonctions normalisées tu peux recalculer <exp|exp>

    2. Je n'arrive pas à trouver d'exercices sur une particule dans un puit de potentiel, sur le net, avec une super correction...
    Alors je te donne l'énoncé.

    D'un point de vue très formel je t'ai postulée l'équation:

    i.h.d/dt |Fi(t)> = H.|Fi(t)>

    On peut montrer que celle-ci s'écrit:

    i.h. d/dt F(r,t) = H(r,t).Fi(r,t)

    Il n'y a plus de | > mais seulement des "vrais" fonctions. Cette équation est connue sous l'appellation équation de Schrodinger et correspond à ce que l'on appelle la représentation |r>.

    le puit quantique est un problème simple pour lequel il est facile de résoudre l'équation de Schrodinger

    On a H = -1/2m[d2x/dx2] + V(x)

    Avec V(x) = 0 sur l'intervalle [-a, a] et en dehors infini.

    Cela représente un électron libre de se balader librement dans l'espace limité par 2 murs de potentiel.

    Il faut d'abord chercher les solutions sous la forme:

    F (x,t)= F(x).G(t)

    Ce qui t'amène a une autre équation qui ne dépend que de x.
    ---------------------------------------------------------------------------------------

    L'intérêt de cet exercice est vital parce qu'il:

    1- modélise des situations expérimentales réelles.

    2-permet de comprendre par l'exemple le formalisme abstrait de la MQ dont tu avons parlé. Cet exercice est également important pour introduire la théorie des groupes qui joue un rôle très important en MQ.


    Bon courage.
    Dernière modification par benjy_star ; 08/12/2009 à 17h23. Motif: mise en page

  26. #23
    mariposa

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    ........



    Un petit exercice de mathématique très important en MQ.

    Soit x et d/dx

    En les mettant en gras c'est ici pour souligner que ce sont des opérateurs cad quelque chose qui agit sur....une fonction f(x)

    Exemple sur la fonction f(x) = x2:

    x.(x2) = x3

    d/dx.x2 = 2.x

    Exercice:

    Calculer l'action des produits d'opérateurs suivant:

    x.d/dx

    [d/dx].x

    x.[d/dx].x

    sur la fonction f(x) = x2

    --------------------------------------------------------------------------------------

    Petite remarque sur le langage de la MQ une notation x peut avoir plusieurs très différents.

    1- x est une coordonnée d'une particule. On dit dans ce ce cas qu'il s'agit d'une variable dynamique (c'est un attribut d'une particule comme en MQ)

    2- |x> est un vecteur comme le suggére la notation.

    3- x est un opérateur. pour lever une éventuelle ambiguité on peut noter X.


    4- x est un indice. ceci est dans le cas où la variable dynamique est un champ. dans ce cas x est un indice qui désigne une composante du champ.
    Dernière modification par benjy_star ; 08/12/2009 à 18h16. Motif: mise en page

  27. #24
    Armen92

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    On montre que la loi d'évolution de |Fi(t)> est régit par une équation de la forme:

    i.h.d/dt |Fi(t)> = H.|Fi(t)>

    H est l'opérateur qui régit l'évolution de |Fi(t)>
    Petite précision : ce n'est pas mais qui figure en facteur au premier membre...
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  28. #25
    Armen92

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Bonjour,



    On a H = -1/2m[d2x/dx2] + V(x)
    Le facteur de la dérivée seconde n'est pas (ce n'est pas homogène !) mais ...
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  29. #26
    benjy_star

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Soit une base de fonctions d'un espace vectoriel de Hilbert de dimensions N sous-entendu par une base orthonormée [1>, |2>,.........|N>


    1- Que signifie l'expression?

    |m><n|

    où |m> et |n> sont 2 vecteurs de la base

    Cherche la solution en pensant matrices.

    2- Que signifie l'expression?

    |n><n|

    3- Que signifie l'expression?

    S |n><n| où S signifie somme sur toutes les valeurs de n de 1 à N
    1. Pour moi, c'est le produit d'un vecteur colonne par un vecteur ligne. Et je ne sais pas ce que ça peut donner... Et j'aurais besoin de cette réponse pour la suite.


    Il faut d'abord chercher les solutions sous la forme:

    F (x,t)= F(x).G(t)

    Ce qui t'amène a une autre équation qui ne dépend que de x.
    Alors je détaille mes calculs :



    En remplaçant F(x,t) par F(x).G(t) :



    On dérive à gauche



    J'ai envie de simplifier par F(x), mais que faire s'il vaut 0? Et j'ai peur que ce soit faux de toute façon, jusque là...

  30. #27
    Eurole

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Bonsoir,
    je suis avec intérêt ce fil où benjy_star transpire.
    Ses efforts seront aussi utiles à ses élèves - dont je considère faire partie maintenant.

    *

    Je signale deux liens qui me paraissent très proches de l'esprit de ce fil

    http://forums.futura-sciences.com/ph...encesoech.html

    http://www.sciences.ch/dwnldbl/telecharger.php3

    *

    Je pense qu'un fil d'initiation à LATex serait utile sur le forum.

    Mon niveau mathématique est inférieur à celui de benjy_star , mais je suis aidé pour avoir appris quelques langages de programmation - Pascal, DbaseIIIplus ...

    Toutefois j'en suis encore à rechercher le lien entre la notion de vecteur et celle de matrice ...

    .

  31. #28
    benjy_star

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Calculer l'action des produits d'opérateurs suivant:
    x(f(x).df(x)/dx =

    [df(x)/dx].x(f(x)) =

    x(f(x)).[df(x)/dx].x(f(x)) =

  32. #29
    benjy_star

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    OK, 1 partout, j'espère qu'on en restera là sur mon fil.

  33. #30
    Sigmar

    Re : Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    1. Pour moi, c'est le produit d'un vecteur colonne par un vecteur ligne. Et je ne sais pas ce que ça peut donner... Et j'aurais besoin de cette réponse pour la suite.
    Petite aide : pense matrice effectivement (ce truc est une matrice), et pense aussi à l'appliquer à un vecteur particulier de la base, par exemple |n> ou à un vecteur simple, par exemple |m>+|n>...
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

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