Mecanique quantique de base

[invite46a4e601]

Salut à tous,
Bien que j'ai appris la mécanique quantique depuis quelques temps déjà, j'ai une petite incompréhension au niveau de la base.

Quant on a une fonction d'onde et qu'on en fais la transformée de Fourier, nous allons trouver trouver l'equivalent de la fonction d'onde pour les quantitées de mouvement.
Ce que je ne comprend pas c'est comment l'on peut identifier la variable de la transformée de Fourier comme étant la quantité de mouvement(ou le vecteur d'onde pour être plus précis).

Je pense que cette identification est liée à p= hk/2pi ce qui sous entend la loi de De Broglie.

Alors mon problème pourrait se poser differement:
Ou se cache la relation de De Broglie dans les postulats de la mécanique quantique(quand je parle de postulats, je parle de la formulation de la meca quantique dans un espace de Hilbert)??
Je pense que c'est dans l'equation de Schrodinger mais je n'arrive pas à comprendre comment.

Je me sens un peu idiot de poser cette question mais bon....
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[cerfa]

Bonjour

Je tente une piste, mais certains plus avisés me reprendront sûrement (Tapez pas trop fort )

Si on part des propriétés ondulatoire d'un particule on peut écrire une fonction d'onde correspondant à une onde plane. Pour qu'elle soit solution de l'équation de Schrödinger il apparaît nécessairement une terme en


Ensuite pour un paquet d'ondes il semble légitime de prendre une superposition de telles ondes. Et l'écriture correspondante peut s'interpréter comme une relation de type transformation de Fourier

Qu'en pensez-vous ?

[yahou]

On peut introduire la relation entre x et p dans la théorie de deux façons différentes.

La première est celle que propose cerfa.

Si on part des propriétés ondulatoire d'un particule on peut écrire une fonction d'onde correspondant à une onde plane. Pour qu'elle soit solution de l'équation de Schrödinger il apparaît nécessairement une terme en

Ca marche plutôt dans l'autre sens. Du moins c'est comme ça que ça s'est introduit historiquement. D'abord l'hypothèse ondulatoire associée aux relations de De Broglie, puis l'équation de Shrödinger par le raisonnement suivant :

On écrit la définition de l'énergie pour l'onde plane monochromatique définie par les relations de De Broglie dans un champ de force conservatif associé au potentiel V :
donne et
En remplaçant dans on obtient l'équation de Shrödinger.

Mais on peut aussi l'obtenir sans les relations de De Broglie, en passant par la mécanique analytique dans sa formulation hamiltonienne. On postule alors une règle de correspondance entre un problème classique et le problème quantique associé : on remplace le crochet de Poisson par le commutateur , les grandeurs A et B devenant des opérateurs sur l'espace de Hilbert.
Avec cette méthode on obtient l'équation de Shrödinger en calculant .
Mais on peut aussi obtenir le lien (la transformée de Fourier) entre x et p en écrivant , sans passer par Shrödinger.

[invitefa5fd80c]

Alors mon problème pourrait se poser differement:
Ou se cache la relation de De Broglie dans les postulats de la mécanique quantique(quand je parle de postulats, je parle de la formulation de la meca quantique dans un espace de Hilbert)??

Salut,

L'un des postulats de la MQ associe à chaque quantité physique observable (ou "observable" tout simplement) un opérateur. Celui associé à la quantité de mouvement P est :



Une observable prend une valeur bien déterminée si et seulement si le vecteur d'état est un vecteur propre de l'opérateur associé à cette observable. La valeur de l'observable est la valeur propre associée à l'opérateur.

Les vecteurs propres de sont les ondes monochromatiques planes avec valeurs propres , ce qui redonne la relation de De Broglie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite46a4e601]

Salut à tous,
Merci pour toutes vos réponses mais je n'ai pas vraiment l'impression qu'elles répondent à ma question.

L'un des postulats de la MQ associe à chaque quantité physique observable (ou "observable" tout simplement) un opérateur. Celui associé à la quantité de mouvement P est :

Ceci est ce que l'on appelle une régle de quantification canonique.
Elle n'est pas vraiment donnée par les postulats. Les postulats devraient donc nous permettre de retrouver cette régle.

Si on suppose l'existence d'un etat monoparticule qui est valeur propre de l'operateur quantité de mouvement P:
P|p> = p|p>.
Dans ce cas là on peut dire que:

A partir de la, on est sur que p est la quantité de mouvement.
Ce que je veux demontrer est :

Car bien que nous disions tout le temps que

rien ne nous permet d'affirmer à priori que le p de la transformée ait un quelconque rapport avec la quantité de mouvement(sauf peut être une analyse dimensionnelle).

Ce que je pensais faire, c'est dire que dans la base des quantités de mouvement, on peut dire que la coordonnée d'un état propre est et faire un changement de base vers .
Dans ce cas, la "fonction coordonnée" serait la fonction d'onde et devrait avoir la forme ci-dessus mais je ne parviens pas à aboutir.

Je rappelle que ma formulation de la mecanique quantique est dans l'espace de Hilbert à savoir:
1) Un vecteur normé de l'espace de Hilbert est un etat du système
2) Un operateur correspond à une grandeur physique
3)les valeurs propres de cet operateur sont des valeurs possibles de la grandeur physique associée
4) la norme au carrée des coordonnées d'un etat dans la base qui diagonalise notre operateur donne la prob d'obtenir les differentes grandeurs physiques possibles
5)Directement après une mesure, l'etat est projeté dans l'espace propre associé au resultat de la mesure.
6)equation de Schrodinger:

[invitefa5fd80c]

Ce que je veux demontrer est :


...

Je rappelle que ma formulation de la mecanique quantique est dans l'espace de Hilbert à savoir:
1) Un vecteur normé de l'espace de Hilbert est un etat du système
2) Un operateur correspond à une grandeur physique
3)les valeurs propres de cet operateur sont des valeurs possibles de la grandeur physique associée
4) la norme au carrée des coordonnées d'un etat dans la base qui diagonalise notre operateur donne la prob d'obtenir les differentes grandeurs physiques possibles
5)Directement après une mesure, l'etat est projeté dans l'espace propre associé au resultat de la mesure.
6)equation de Schrodinger:

Si tu t'en tiens strictement à ces 6 postulats sans expliciter dans le postulat 2 l'expression de l'opérateur P dans la représentation x, je ne crois pas que tu pourras arriver à démontrer que

À mon avis, tu as deux possibilités principales:

1- Tu postules que l'opérateur P dans la représentation x est donné par:


2- Tu postules qu'un état propre de P dans la représentation x est donné par


Je vais quand même suivre ce fil par curiosité, des fois que quelqu'un trouverais à partir de ces 6 postulats tels que tu les as énoncés une façon de déduire l'expression pour l'opérateur P dans la représentation x ou, de façon équivalente, l'expression de ses vecteurs propres dans la représentation x.

[invite46a4e601]

Pourtant, lorsque j'étudie l'oscillateur harmonique ou les régles de quantification du moment cinetique, je ne suis pas forcement obliger d'expliciter mes operateurs dans la representation des positions.

A priori, ces postulats devraient se satisfaire à eux même

[Karibou Blanc]

x et p sont ce qu'on appelle des variables conjuguées (au sens de Lagrange), ce qui se traduit en MQ par un commutateur valant i (hbar=1). Elles sont donc nécessairement reliées par transformée de Fourier.

Maintenant pour trouver la représentation de P dans la base des états propres de position, rien de plus simple, il suffit de regarder la transformée de Fourier :



Donc L'opérateur P qui se représente par p dans la représentation impulsion est représenté par dans la représentation position.
CQFD (au signe pres)

KB

[Gwyddon]

Il me semble avoir fait cette démo l'an dernier en TD. Il faudrait que je le retrouve...

[Coincoin]

Salut,
Dans tous les cas, il faut rajouter un petit quelque chose pour définir ton P (conjugué de x, générateur infinitésimal des translations) car si tu ne dis rien dessus il est clair que tu ne pourras rien en tirer. Avec les seuls postulats donnés, on ne peut pas savoir si P est l'opérateur impulsion ou l'opérateur âge du capitaine.

[invitefa5fd80c]

Salut,
Dans tous les cas, il faut rajouter un petit quelque chose pour définir ton P (conjugué de x, générateur infinitésimal des translations) car si tu ne dis rien dessus il est clair que tu ne pourras rien en tirer. Avec les seuls postulats donnés, on ne peut pas savoir si P est l'opérateur impulsion ou l'opérateur âge du capitaine.

Tout à fait exact, on ne pourrait mieux l'exprimer.

[Karibou Blanc]

car si tu ne dis rien dessus il est clair que tu ne pourras rien en tirer

Je sais automatiquement du fait que p est la variable conjugué de x que x et p sont reliés par une transformation de fourier. Maintenant si P est représenté par p dans une base, je sais que P est l'opérateur impulsion, nécessairement, il n'y a pas besoin de rajouter quoique ce soit.

[Gwyddon]

D'ailleurs c'est implicite dans la formulation même de l'opérateur P : l'impulsion p est par définition le moment conjugué de x en méca analytique

[Coincoin]

Je suis tout à fait d'accord. C'est pour ça que j'ai mis "un petit quelque chose" : dire que p est le conjugué de x suffit.

[invitefa5fd80c]

Je sais automatiquement du fait que p est la variable conjugué de x que x et p sont reliés par une transformation de fourier. Maintenant si P est représenté par p dans une base, je sais que P est l'opérateur impulsion, nécessairement, il n'y a pas besoin de rajouter quoique ce soit.

De quel(s) postulat(s) mentionné(s) par Izanagi tires-tu des conclusions sur les opérateurs quantiques associés à deux variables qui, classiquement, sont conjuguées l'une de l'autre ?

[Karibou Blanc]

De quel(s) postulat(s) mentionné(s) par Izanagi tires-tu des conclusions sur les opérateurs quantiques associés à deux variables qui, classiquement, sont conjuguées l'une de l'autre ?

Aucun, si ce n'est celui sur les valeurs propres.
La question était de montrer la forme qu'a l'operateur P dans la base {x}, ce que j'ai fait plus haut, la démonstration repose sur une propriété purement classique, le fait que x et p sont conjugués de Lagrange.

[Gwyddon]

De quel(s) postulat(s) mentionné(s) par Izanagi tires-tu des conclusions sur les opérateurs quantiques associés à deux variables qui, classiquement, sont conjuguées l'une de l'autre ?

Celui de l'équation de Schrödinger, où l'on se se sert de l'hamiltonien. Implicitement cela repose sur une formulation hamiltonienne, donc variables conjuguées (x,p)

[Karibou Blanc]

Celui de l'équation de Schrödinger, où l'on se se sert de l'hamiltonien. Implicitement cela repose sur une formulation hamiltonienne, donc variables conjuguées (x,p)

Euh je ne suis pas certain, je n'ai jamais utilisé l'évolution des états pour la démo, donc l'eq de Schrodinger n'intervient pas. Mais je pense que tu voulais dire que c'est le cas implicitement car H apparait dans l'équation. Il n'est pas nécessaire d'utiliser la formulation hamiltonienne pour définir des variables conjuguées. Donc je ne vois pas pourquoi tu considères l'eq de Sch. comme source de la forme de P dans la base {x} ?

[invitefa5fd80c]

Aucun, si ce n'est celui sur les valeurs propres.
La question était de montrer la forme qu'a l'operateur P dans la base {x}, ce que j'ai fait plus haut, la démonstration repose sur une propriété purement classique, le fait que x et p sont conjugués de Lagrange.

Celui de l'équation de Schrödinger, où l'on se se sert de l'hamiltonien. Implicitement cela repose sur une formulation hamiltonienne, donc variables conjuguées (x,p)

Mais il faut alors invoquer un quelconque principe de correspondance entre le formalisme classique et le formalisme quantique, lequel est certes justifié mais non mentionné dans les postulats d'Iganazi.

[Karibou Blanc]

Mais il faut alors invoquer un quelconque principe de correspondance entre le formalisme classique et le formalisme quantique

C'est la procédure de quantification canonique, à tout couple de variables conjuguées (crochet de Poisson égale à 1, sorte de commutateur, regarde la définition) dans la théorie classique doit correspondre un couple d'opérateurs dont le commutateur vaut i.

Ce n'est pas vraiment un postulat de la MQ à proprement parler, c'est un truc pour passer de la théorie classique vers la théorie quantique.

[Gwyddon]

[QUOTE=Karibou Blanc;1030409 Mais je pense que tu voulais dire que c'est le cas implicitement car H apparait dans l'équation.
[/QUOTE]

Oui c'est ce que je voulais dire

Il n'est pas nécessaire d'utiliser la formulation hamiltonienne pour définir des variables conjuguées. Donc je ne vois pas pourquoi tu considères l'eq de Sch. comme source de la forme de P dans la base {x} ?

C'est vrai que la formulation hamiltonienne n'est pas nécessaire, mais bon puisque elle apparaît via Schrödinger..

[invitefa5fd80c]

Ce n'est pas vraiment un postulat de la MQ à proprement parler, c'est un truc pour passer de la théorie classique vers la théorie quantique.

Le modèle classique ayant été invalidé par l'expérience, on ne peut utiliser une portion de son formalisme sans le postuler explicitement dans les principes de base de la MQ.

[mariposa]

Je rappelle que ma formulation de la mecanique quantique est dans l'espace de Hilbert à savoir:
1) Un vecteur normé de l'espace de Hilbert est un etat du système
2) Un operateur correspond à une grandeur physique
3)les valeurs propres de cet operateur sont des valeurs possibles de la grandeur physique associée
4) la norme au carrée des coordonnées d'un etat dans la base qui diagonalise notre operateur donne la prob d'obtenir les differentes grandeurs physiques possibles
5)Directement après une mesure, l'etat est projeté dans l'espace propre associé au resultat de la mesure.
6)equation de Schrodinger:

Pour moi ta relation 6 n'est pas l'équation de Schrodinger. Elle represente l'équation d'évolution d'un ket dans l'espace de Hilbert. Si tu projettes cette équation dans une representation |r> tu obtiends l'équation de Schrodinger.
.
Après quoi il faut une prescription pour définir H. Le plus classique se fait en terme du principe de correspondance évoqué plus haut.

[mariposa]

Pourtant, lorsque j'étudie l'oscillateur harmonique ou les régles de quantification du moment cinetique, je ne suis pas forcement obliger d'expliciter mes operateurs dans la representation des positions.

.
Effectivement. En général on choisit une representation adaptée à la symétrie. Le representation |k> presente seulement un interet pour les systèmes invariants par translation (continues ou discrètes). Il est interessant de manipuler un hamiltonien sans representation classique. C'est ce que l'on fait pour l'oscillateur harmonique ou un système à potentiel central où l'on exploite implicitement l'algébre de Lie du groupe de rotations 0(3).

A priori, ces postulats devraient se satisfaire à eux même

.
En n'oubliant le principe de construction de l'hamiltonien.

[Karibou Blanc]

Pour moi ta relation 6 n'est pas l'équation de Schrodinger.

historiquement tu as raison, mais par abus de langage, cette équation (même si elle est tres symbolique) est aussi appelée eq. Sch. (c'est le cas dans le Cohen-Tannoudji par exemple).

Après quoi il faut une prescription pour définir H. Le plus classique se fait en terme du principe de correspondance évoqué plus haut.

A priori, ces postulats devraient se satisfaire à eux même
.
En n'oubliant le principe de construction de l'hamiltonien.

Exactement ! C'est ce que je voulais dire en disant que la quantification canonique n'est pas vraiment un principe de la MQ. La MQ en elle-meme définit juste un cadre pour représenter les possibles valeurs de mesures de grandeurs physiques, mais elle ne dit rien sur les relations entre ces grandeurs physiques. Pour cela il faut s'inspirer de la MC, cette inspiration est concrétisée par la procédure de quantification canonique qui s'appuie sur une formulation lagrangienne ou hamiltonienne de la MC.

[gatsu]

Salut,

il y a une méthode que j'aime particulièrement qui a l'avantage de ne presque rien supposer, selon moi.

L'idée est de dire que

Ce qui implique que
On cherche à expliciter la forme de
En introduisant une relation de fermeture, on trouve :

En se rappelant que (ce qui se montre assez facilement au sens des distributions bien sûr) on trouve :

Où pour la dernière égalité on utilise une intégration par parties.
On trouve bien finalement

[Coincoin]

Intéressant ! Tu supposes tout de même que [X,P]=ih, c'est-à-dire que les variables sont conjuguées. Ca rejoint la démo de Karibou Blanc.

[Karibou Blanc]

Intéressant ! Tu supposes tout de même que [X,P]=ih, c'est-à-dire que les variables sont conjuguées. Ca rejoint la démo de Karibou Blanc.

Exact

KB

[gatsu]

Intéressant ! Tu supposes tout de même que [X,P]=ih, c'est-à-dire que les variables sont conjuguées. Ca rejoint la démo de Karibou Blanc.

Je dois pas être très fort en variables conjuguées parce que dans la démo de Karibou Blanc je ne vois pas en quoi c'est évident que ces variables sont reliées forcément par une TF, c'est pour ça que j'ai présenté cette version.
Pour pinailler un peu je ne dirai pas que je suppose que [X,P]=ih, je prends ça comme une définition mais j'aurais très bien pu m'interesser à n'importe quel autre couple de variables conjuguées Q,P.

[invite46a4e601]

J'y ai encore un peu réflechi.
Au fait, je vais dire des trucs qui sont peut être faux alors ne vous moquez pas de moi.

Lorsque je parle du sixième postulats, je parle de l'équation de Schrodinger de façon abusive c'est clair.
D'après ce que je sais l'equation de Schrodinger sous entend la representation de Schrödinger pour laquelle les états dépendent du temps alors que les opérateurs non.
Cette équation est valable en representation d'interaction.
En faisant un "changement de base", on peut se placer en representation de Heisenberg et travailler avec l'équation de Heisenberg sur les operateurs dépendant du temps(etats independant du temps dans ce cas).

Ainsi, on obtient l'equation(pour un système d'une particule libre):
dX/dt = [P^2,X]/2ihm
ihP =(P[P,X]+[P,X]P)/2

ici je doute de mdX/dt = P!!!

ih =[P,X]/2+ P^-1[P,X]P/2
ih = P[P,X]P^-1/2+ [P,X]/2

ce qui nous permet de dire par soustraction que :
P[P,X]P^-1 = P^-1[P,X]P
(peut on en deduire que P[P,X]P^-1=[P,X]????)

On retrouve ainsi que les relations de commutation tellement connues et par deduction cela repond à ma question.
Alors???juste?