Base mathématiques de la mécanique quantique, exercices de base

[mariposa]

x(f(x).df(x)/dx =

[df(x)/dx].x(f(x)) =

x(f(x)).[df(x)/dx].x(f(x)) =

Non cela n'est pas juste.

Je t'explique formellement comment faire:

Soit A.B.le produit de 2 opérateurs qui agissent sur f(x)

On calcul d'abord Bf(x) qui donne g(x)

Ensuite on fait agir A sur g(x) qui donne p(x)

Maintenant si tu calcules l'action de B.A sur f(x) tu fais la même procédure et tu verras que le résultat final n'est pas le même.

L'exercice permet de constater que l'ordre des opérateurs est tres important.

En général la différence A.B -B.A qui agit sur f(x) ne donne pas zéro.

on note la quantité A.B-B.A sous la forme [A, B] que l'on appelle commutateur et la MQ est plein de commutateurs de cette sorte.

Ceci a un rapport étroit avec ce que l'on appelle les inégalités d'Heisenberg.

En MQ la mesure expérimentale d'une grandeur est attaché à un opérateur qui agit dans l'espace de Hilbert.

Si 2 opérateurs associés à 2 grandeurs physiques ne commutent pas alors il n'est pas possible de mesurer les 2 simultanement. S'ils commutent alors c'est possible.

Par exemple on ne peut pas attribuer à 1 particule une position ET une vitesse (contrairement à ce qui se passe en MC)

Par contre on peut mesurer simultanément la vitesse d'une particule libre ET son énergie.

------------------------------------------------------------------------------------------------

Pour résumer algorithme de l'action des opérateurs.

S'il a on a un produit de plusieurs opérateurs A.B.C.D

On commence a faire agir D sur la fonction. A partir du résultat on fait agir C qui donne un nouveau résultat sur lequel on fait agir l'opérateur B etc...

a toi de jouer.
-----

[invite19431173]

OK, compris !

x.df(x)/dx = x.2x = 2x²

[d/dx].x(f(x)) = dx^3/dx = 3x²

x.[d/dx].x(f(x)) = x.dx^3/dx = x(3x²) = 3x^3

C'est bon ?

Et si je comprends bien, on ne peut pas connaître avec précision la vitesse et la position pour le cas d'une chute libre sans vitesse initiale ? D'où :



Supérieur ou égal, et je crois que c'est "h bar", je maitrise pas assez bien le latex !

[Flyingsquirrel]

je crois que c'est "h bar", je maitrise pas assez bien le latex !

La commande pour obtenir est \hbar, tout simplement.

[Armen92]

e ? D'où :



Supérieur ou égal, et je crois que c'est "h bar", je maitrise pas assez bien le latex !

Il manque la masse en facteur de pour fabriquer . Par ailleurs, comme , on a très exactement .

[invite19431173]

J'interviens cette fois-ci en tant que modérateur.

Le ménage a été fait, et sera fait de nouveau en cas de nouveau débordement.

Pour la modération

En tant qu'utilisateur maintenant : j'apprécie beaucoup l'aide que m'apportent mariposa, et les autres. J'aimerais donc que ce fil reste aussi constructif et que personne ne tire dans les pattes de personnes.

Merci d'avance.

[mariposa]

1. Pour moi, c'est le produit d'un vecteur colonne par un vecteur ligne. Et je ne sais pas ce que ça peut donner... Et j'aurais besoin de cette réponse pour la suite.

Oui tu auras besoin de cette réponse par la suite. Toutes les questions mathématiques dont je te parles sont au plus prêt de ce que l'on a besoin en MQ.

Petit rappel sur les matrices.

Une matrice A [m,n] est un tableau à m lignes et n colonnes. On peut additionner les matrices de même forme. Par contre les multiplications sont plus difficiles. Compte tenu de la règle du jeu on peut faire

C [m,p] = A [m,n].B [n,p]

Tu remarqueras que la valeur de n est commune.

Par exemple C [3,7] = A [3,2].B [2,7]

Le nombre de colonnes de la première doit être égal au nombre de lignes de la seconde.

Pour les matrices carrés on aura automatiquement:

C [m,m] = A [m,m].B [m,m]

Le produit des matrices carrés conserve la dimension n

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Exercice sympa et tres utile:

Une matrice ligne s'écrit A[1,n] 1 ligne n colonnes

Une matrice colonne s'écrit B[n,1] n lignes 1 colonne

Compare le produit A.B et le produit B.A?

Dans les 2 cas le produit est une matrice carré, mais qu'elle est la dimension de chaque matrice?

même exercice mais en comparant le produit <a|b> avec le produit |a><b| en pensant produit matriciel.

[invite19431173]

Exercice sympa et tres utile:

Une matrice ligne s'écrit A[1,n] 1 ligne n colonnes

Une matrice colonne s'écrit B[n,1] n lignes 1 colonne

Compare le produit A.B et le produit B.A?

Dans les 2 cas le produit est une matrice carré, mais qu'elle est la dimension de chaque matrice?

même exercice mais en comparant le produit <a|b> avec le produit |a><b| en pensant produit matriciel.

Bon, je suis pas mal largué, mais je tente :

A (a ; b ) matrice colonne
B (a' ; b' ) matrice ligne.

D'après wikipedia, si j'ai bien compris, on aura une matrice 2x2 :

A.B = a.a'...... a.b'
........b.a'........b.b'

On fait les matrices comme on peut !

Par contre, B.A, je vois pas ce que ça donne, d'après wiki :

Le produit de deux matrices ne peut se définir que si le nombre de colonnes de la première matrice est le même que le nombre de lignes de la deuxième matrice

[mariposa]

OK, compris !

x.df(x)/dx = x.2x = 2x²

[d/dx].x(f(x)) = dx^3/dx = 3x²

x.[d/dx].x(f(x)) = x.dx^3/dx = x(3x²) = 3x^3

C'est bon ?

C'est OK.

Morale de l'histoire: il faut respecter rigoureusement l'ordre des opérateurs car contrairement aux nombres réels ou aux nombres complexes le opérateurs ne commutent pas à priori (sauf avis contraire).

Et si je comprends bien, on ne peut pas connaître avec précision la vitesse et la position pour le cas d'une chute libre sans vitesse initiale ? D'où :

L'inégalité que tu as écrites dis par exemple si tu attribues (mesure) une position x= 3,35 nm alors Deltax = 0 et donc l'inégalité est satisfaite seulement si Delta v est infinie. pour l'instant il suffit de dire que on ne sait pas puisque toutes les valeurs de v sont possibles.

Cette inégalité résulte du fait que les 2 opérateurs -i.h.d/dx et x que tu as calculé précédemment ne commutent pas cad avec les notations précedentes:

[-i.h.d/dx , x] different de zéro.

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C'est l'opportunité pour parachuté (mais çà se démontre) le rapport qu'il y a entre une grandeur mesurée et les opérateurs qui agissent dans l'espace de Hilbert.

a la position x correspond l'opérateur x (ou X pour signifier l'aspect d'opérateur)

a l'impulsion p correspond l'opérateur -i.h.d/dx

Pour information: La correspondance entre grandeurs classiques et opérateurs quantiques est fondée sur un homomorphisme d'algèbres classiques et quantiques. Ceci fait appel a des connaissances de mécanique analytique dont on peut faire largement l'impasse durablement.

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Exercices sympas:

1- sachant que l'énergie cinétique d'une particule s'écrit E = P2/2.m

Déterminer l'opérateur Energie cinétique qui va agir dans l'espace de Hilbert.

2- Sachant qu'une particule subit un potentiel classique V(x) déterminer l'opérateur potentiel qui agit dans l'espace de Hilbert.

3- Sachant que l'énergie d'une particule classique est composée de l'addition de son énergie cinétique et de son énergie potentielle déterminer l'opérateur associé qui va agir dans l'espace de Hilbert. On appellera hamiltonien H cet opérateur.

4- Démontrer que le commutateur [H,P] = 0 si le potentiel est nul.

5- Que signifie la nullité de ce commutateur du point de vue de la mesure.

A toi de jouer.

Supérieur ou égal, et je crois que c'est "h bar", je maitrise pas assez bien le latex !

Personnellement quand je met h çà veut dire h barre.

[mariposa]

Bon, je suis pas mal largué, mais je tente :

A (a ; b ) matrice colonne
B (a' ; b' ) matrice ligne.

D'après wikipedia, si j'ai bien compris, on aura une matrice 2x2 :

A.B = a.a'...... a.b'
........b.a'........b.b'

On fait les matrices comme on peut !

OK C'est correcte.

Dans ton produit tu as mis le vecteur colonne à gauche et le vecteur ligne à droite, c'est pour cela que tu, obtiens une matrice 2*2

Maintenant fais le produit en mettant le vecteur ligne a gauche et le vecteur colonne à droite. En appliquant la règle des produits de matrices tu trouveras une matrice 1*1 cad un nombre.

Quel est la valeur de cette matrice 1*1?

A toi de jouer.

Remarque: Avec tes notations la matrice colonne A (a,b) correspond au vecteur |A> tandis que la matrice ligne B(a', b') correspond au vecteur ligne <B|

Donc il faut que refaire le même raisonnement et trouver la différence entre l'expression <B|A> que tu as déjà rencontré et l'expression |A><B| qui signifie autre chose.

Précision sur le langage |A> est un vecteur représenté par une matrice colonne dont les composantes sont a et b

Tous les mots soulignés sont importants.

[invite19431173]

1- sachant que l'énergie cinétique d'une particule s'écrit E = P2/2.m

Déterminer l'opérateur Energie cinétique qui va agir dans l'espace de Hilbert.

2- Sachant qu'une particule subit un potentiel classique V(x) déterminer l'opérateur potentiel qui agit dans l'espace de Hilbert.

3- Sachant que l'énergie d'une particule classique est composée de l'addition de son énergie cinétique et de son énergie potentielle déterminer l'opérateur associé qui va agir dans l'espace de Hilbert. On appellera hamiltonien H cet opérateur.

4- Démontrer que le commutateur [H,P] = 0 si le potentiel est nul.

5- Que signifie la nullité de ce commutateur du point de vue de la mesure.

1. Je dirais l'opérateur : sans conviction

2. Je ne vois pas du tout !

3. La somme des deux opérateurs précédents ?

4. Besoin de la réponse à 1. et 2.

5. Que et qu'il ne peuvent être parfaitement déterminés tous les deux.

[invite19431173]

Maintenant fais le produit en mettant le vecteur ligne a gauche et le vecteur colonne à droite. En appliquant la règle des produits de matrices tu trouveras une matrice 1*1 cad un nombre.

Quel est la valeur de cette matrice 1*1?

Je ne vois pas du tout comment...

[Armen92]

...
5. Que et qu'il ne peuvent être parfaitement déterminés tous les deux.

Non, ce ne peut être cela puisque ce n'est pas homogène.
Si et commutent, on peut seulement dire que est positif ou nul, ce qui ne dit strictement rien de plus puisqu'il s'agit du produit de deux écarts-types, tous deux positifs ou nuls...

[Eurole]

Je ne vois pas du tout comment...

bonsoir benjy_star

je me permets d'essayer dans ton sillage.

BA = a'a+a'b+b'a+b'b = nombre

.

[invite1c0eeca8]

bjr

merci à benjystar et mariposa pour ce post instructif


pourquoi le produit de la matrice ligne par la matrice colonne ne serait pas égal à : aa' + bb' ?

[invite5e5dd00d]

pourquoi le produit de la matrice ligne par la matrice colonne ne serait pas égal à : aa' + bb' ?

Ca me parait bien plus juste . Bravo !

[invite24327a4e]

Pendant qu'on y est, il existe un article assez amusant sur le formalisme mathématique de la MQ et qui montre qu'il ne faut pas prendre à la légère l'ensemble de définition des opérateurs qu'on utilise si l'on ne veut pas tomber sur des paradoxes apparents.
http://arxiv.org/pdf/quant-ph/9907070v1

[invite7545251678]

Bonsoir,

Je me permets d'intervenir car je (re)travaille en ce moment sur la description des atomes par la mécanique quantique ;

J'ai aussi une formation de chimiste et je crois avoir compris bien des choses grâce à un bouquin : "Chimie physique - Approche moléculaire" de Donald Mc Quarrie et John Simon.

Certes, on ne parle pas d'espace de Hilbert mais l'essentiel est dit sur les opérateurs et leurs propriétés (linéarité, hermiticité, commutation), les fonctions et valeurs propres, la notion d'observable et de grandeur moyenne mesurée. Il y a des rappels de proba (beurk) et de statistique (la variance est utile pour l'étude du principe d'incertitude d'Heisenberg).

Tu y trouveras le fameux exemple indispensable de la particule, libre de se mouvoir en une dimension dans un puits de potentiel (un modèle qui permet d'interpréter le spectre d'absorption du butadiène...).

Bref, pour moi qui ne suit pas matheux, ce livre est génial (avec bcp d'exemples et d'exercices après chaque nouveau concept introduit). Il coûte un peu cher mais c'est un investissement que je ne regrette pas.

Après, si tu veux vraiment faire de la mécanique quantique, il faudra manger des maths dont Mariposa t'a fourni un échantillon...

[mariposa]

Bonsoir,

Je me permets d'intervenir car je (re)travaille en ce moment sur la description des atomes par la mécanique quantique ;

J'ai aussi une formation de chimiste et je crois avoir compris bien des choses grâce à un bouquin : "Chimie physique - Approche moléculaire" de Donald Mc Quarrie et John Simon.

Certes, on ne parle pas d'espace de Hilbert mais l'essentiel est dit sur les opérateurs et leurs propriétés (linéarité, hermiticité, commutation), les fonctions et valeurs propres, la notion d'observable et de grandeur moyenne mesurée. Il y a des rappels de proba (beurk) et de statistique (la variance est utile pour l'étude du principe d'incertitude d'Heisenberg).

Tu y trouveras le fameux exemple indispensable de la particule, libre de se mouvoir en une dimension dans un puits de potentiel (un modèle qui permet d'interpréter le spectre d'absorption du butadiène...).

Bref, pour moi qui ne suit pas matheux, ce livre est génial (avec bcp d'exemples et d'exercices après chaque nouveau concept introduit). Il coûte un peu cher mais c'est un investissement que je ne regrette pas.

Après, si tu veux vraiment faire de la mécanique quantique, il faudra manger des maths dont Mariposa t'a fourni un échantillon...

Bonjour,


J'approuve totalement ta démarche et donc ce livre est certainement à conseiller.


C'est d'ailleurs le cas pour beaucoup de livres écrits à l'attention des chimistes. A mon avis on gagne du temps en procédant ainsi plutôt que de s'attarder sur la masturbation intellectuelle de la mesure en MQ.

En effet ce qui est difficile en physique en général et en MQ en particulier, ce ne sont pas les maths mais la combinaison des maths et des concepts physiques au service de la compréhension des phénomènes physiques.


S 'agissant de la MQ les maths indispensables, nécessaires et incontournables dans un premier temps sont un cours élémentaire d'algèbre linéaire qui s'enseigne en général en BAC + 1 mais qui pourrait également s'enseigner en BAC-1.


Ce qui est spécifique à la MQ ce sont des nouveaux concepts dont aucun n'est raccordable à notre expérience sensible et ce a contrario de la physique classique. C'est pourquoi la maîtrise des concepts ne peut se faire que la médiation du langage mathématique réduit dans un premier temps à un bagage élémentaire d'algébre linéaire.


Algébre linéaire, en 2 mots c'est quoi?

1- Le calcul matriciel.

a- Addition et multiplication des matrices.
b-Matrice transposée, matrice conjuguée.
c- Matrice inverse.

2- vecteurs et espaces vectoriels.

a- Changements de bases et représentations d'un vecteur.
b- L'espace vectoriel des fonctions.
c- l'espace vectoriel

3- Le produit scalaire des vecteurs

Bases orthonormées

4- Opérateurs agissant dans un espace vectoriel

a- Représentation d'un opérateur
b- Opérateur et changement de base.
c- Éléments propres (valeurs et vecteurs propres) d'un opérateur.


4- Algèbres sur un espace vectoriel.

a- L' algèbre des matrices.
b- L'algèbre des opérateurs et ses représentations
c- L'algèbre des commutateurs
d- Éléments propres de 2 opérateurs qui commutent.


C'est pourquoi il est nécessaire, selon loi, d'aller au plus vite, vers les problèmes de puits quantiques, même si on ne comprend pas dans un premier temps ce que l'on fait.

En effet cela permet dans un premier temps de distinguer, sur un exemple simple, les aspects mathématiques des concepts mêmes de la MQ et a commencer par la quantification de l'énergie. Ce peut-être plus motivant de comprendre a quels aspects mathématiques doit-on s'attarder.

[invite765432345678]

Bonsoir,

Quand j'écrivais des articles, il y a déjà longtemps, c'était ma secrétaire (avec une machine spécialisée) ou les thésards qui faisaient ce travail.

Je suis pleinement conscient qu'il faudrait que je mette au Latex. Patience, çà va venir.

Quand on perd sa secrétaire, on devient un peu handicapé. Il faut d'urgence apprendre à manipuler les utilitaires de création de formules mathématiques sous Word, OpenOffice ou le web.

C'est la seule manière de faire partager vos connaissances étendues de la mécanique quantique.

[invite765432345678]

En mécanique quantique, il faut impérativement des bases en statistique. Le cours suivant de Sylvie Méléard, enseignante à l'Ecole Polytechnique, me semble bien adaptée à l'étude de la mécanique quantique.

Pièce jointe 112940

[invite19431173]

RedDwarf : ce document est-il libre de droits ?

[invite9c7554e3]

Bon, je suis pas mal largué, mais je tente :

A (a ; b ) matrice colonne
B (a' ; b' ) matrice ligne.

D'après wikipedia, si j'ai bien compris, on aura une matrice 2x2 :

A.B = a.a'...... a.b'
........b.a'........b.b'

On fait les matrices comme on peut !

Par contre, B.A, je vois pas ce que ça donne, d'après wiki :

si je peux me permettre Benji tu devrais regarder le produit de matrice d'un peut plus près car ca risque d'etre tres compliqué tous cela si tu n'es pas parfaitement à l'aise avec cela (pour bien des domaines de la physique)
une fois que tu sais faire le produit de deux matrice se sera très facile de comprendre comment on obtient une matrice à partir d'un vecteur ligne et d'un colonne.

remarque: le produit de matrice ce n'est pas du tout compliqué il suffit juste de s'y mettre 5minutes dessus et apres tu seras déparassé

[invite765432345678]

RedDwarf : ce document est-il libre de droits ?

Le document est en libre accés sur le site web de polytechnique. Il faudrait que je pose directement la question au professeur.

[invite19431173]

Dans ce cas, je préfèrerais que tu mettes un lien vers ce document.

[invite765432345678]

Dans ce cas, je préfèrerais que tu mettes un lien vers ce document.

Ci-joint le lien en question (vidéo + pdf du cours de statistique):http://www.catalogue.polytechnique.fr/site.php?id=54

Un excellent cours que je recommande à tous ceux qui veulent apprendre depuis la maison !

[invite5a685214]

4- Opérateurs agissant dans un espace vectoriel

a- Représentation d'un opérateur
b- Opérateur et changement de base.
c- Éléments propres (valeurs et vecteurs propres) d'un opérateur.

Juste une petite question de vocabulaire: j'ai devant moi un livre d'algèbre qui couvre le programme L1-L2. Je l'ai parcouru et à aucun moment il n'est utilisé le mot "opérateur". Je pose donc la question suivante: "opérateur linéaire" est-il synonyme d'"application linéaire"? Excusez mon ignorance...

[mariposa]

Juste une petite question de vocabulaire: j'ai devant moi un livre d'algèbre qui couvre le programme L1-L2. Je l'ai parcouru et à aucun moment il n'est utilisé le mot "opérateur". Je pose donc la question suivante: "opérateur linéaire" est-il synonyme d'"application linéaire"? Excusez mon ignorance...

Bonjour,

J'aurais tendance à dire que c'est synonyme. On peut toutefois faire une différence entre application linéaire qui est une application linéaire d'un ensemble E dans un ensemble F et un opérateur linéaire qui est une application de E dans E. (A vérifier)?.

[invite6754323456711]

Bonjour,

J'aurais tendance à dire que c'est synonyme. On peut toutefois faire une différence entre application linéaire qui est une application linéaire d'un ensemble E dans un ensemble F et un opérateur linéaire qui est une application de E dans E. (A vérifier)?.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_lin%C3%A9aire
Patrick

[invite9c7554e3]

i.h.d/dt |Fi(t)> = H.|Fi(t)>

Bonjour,

désolé d'intervenir dans ce poste benjy mais je voudrais poser une question à mariposa concernant cette equation de Schrodinger.

En faite j'ai bien compris toute la partie mathématiques mais par contre d'un coté plus physique je n'ai pas compris.

En fait j'effet de faire le lien entre la mecanique du point/solide et la mecanique quantique mais j'ai beaucoup de mal car je n'ai jamais vraiment eu de cours serieux en MQ.

===>
En fait j'aimerai bien comprendre le sens physique de cette equation de Schrodinger, qu'es comme fonction F(t)?
pourquoi on a un imaginaire au premier membre.

En faite j'essai de voir un parallele avec le PFD de Newton, le th de l'energie cinetique, ou les equations de Lagrange, mais franchement je n'arrive pas à faire le lien avec aucune de ces choses....

[mariposa]

En fait j'aimerai bien comprendre le sens physique de cette equation de Schrodinger, qu'es comme fonction F(t)?

En mécanique classique on décrit dans le formalisme hamiltonien l'évolution d'un système dans l'espace des phases {Qi, Pi} avec :

dQi/dt = dH/dPi

dPi/dt = dH/dQi

Avec H (Qi,Pi,t)

En MQ ces équations d'évolution est remplacé par l'équation d'évolution de Schrodinger qui est l'équation d'évolution d'un vecteur abstrait d'un espace de Hilbert noté |F(t)>.


Ce vecteur est abstrait dans le sens où c'est un objet mathématique intermédiaire.Le rapport avec l'expérience, cad la production de valeurs numériques, se fait par l'intermédiaire d'opérateurs M agissant dans l'espace de Hilbert associés à chaque catégorie de mesure. Ces nombres sont les éléments de matrices de l'opérateur M: noté:

<F(t) | M |F(t)> = m(t)

Si par exemple M est l'opérateur dipolaire électrique alors m(t) est la valeur du dipôle à l'instant t.

En bref la dynamique de |F(t)> est déterminée par l'opérateur hamiltonien H(t), c'est l'équation de Schrodinger et les valeurs des mesures sont déterminées par les opérateurs M1, M2,.....associés a chaque type de mesure.

pourquoi on a un imaginaire au premier membre.

Cela est liée au fait que l'opérateur H doit être hermitien pour que ses valeurs propres soient réelles et que l'on a une dérivée première par rapport au temps

En faite j'essai de voir un parallele avec le PFD de Newton, le th de l'energie cinetique, ou les equations de Lagrange, mais franchement je n'arrive pas à faire le lien avec aucune de ces choses....

Le parallèle est à faire, non pas avec le formalisme de Lagrange mais au formalisme d' hamilton qui se déduit du formalisme de Lagrange.

Au lieu d'écrire:

d2X/dt2 = F = -dU/dx (formulation lagrangienne)

On a :

dV/dt = -dU/dx

dX/dt = V

formulation hamiltonienne où l'hamiltonien vaut:

H (X,V)= 1/2.m.V(t) 2 + U(X,t)2

A laquelle est associée une trajectoire (paramétrée par le temps) dans l'espace des phase

X(t), V(t)