Périodicité dans la série des nombres premiers ?

[invite9455dcfd]

Bonjour,

En cherchant une représentation graphique originale pour les nombres premiers, je suis tombé sur une périodicité que je n’explique pas.

A partir de la série des nombre premiers p(i), j’ai construit la série x(j) égale à la somme cumulé du cosinus de p(i) : x(j)=S_i=1->j (cos(p(i))

Sa représentation graphique montre une périodicité d’environ P=4.10^6 nombres, mais elle semble diminuer peu à peu lorsque j augmente (P=3.10^6 pour j=10^10 , P=2.10^6 pour j=10^13).

Voir la figure 1 pour l’illustration graphique de x(j) avec j=1 à 10^8.

Cette périodicité n’apparaît pas sur d’autres séries « imitant » la série des nombres premiers comme la suite p’(i)=i^2-i+41 Ou p’’(i)=entier(i*log(i)). On peut le voir sur la figure 5 qui montre la somme cumulé du cosinus de p'(i).

Ca ne semble pas être un artefact informatique.

Quelqu’un a t’il une explication pour cette oscillation?

Merci.
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[invite4793db90]

Salut,

la question est assez floue car il n'est pas question de périodicité, mais plutôt d'oscillations (ce qui n'est pas évident à formaliser).

Néanmoins, on peut remarquer deux choses: ces oscillations ont vraisemblablement un caractère "local" (du point de vue macroscopique le second graphique ne manifeste plus de telles structures); en revanche ce qui est frappant est l'apparente régularité de ces oscillations (comme si elles avaient la même "longueur d'onde").

La formule de Riemann peut néanmoins apporter des éléments d'explication: la somme où est le nombre de nombres premiers inférieurs à x s'écrit



où Li est le logarithme intégral et où la somme s'étend sur les racines non triviales de la fonction de Riemann.

Le terme principal Li(x) correspond à l'équivalent asymptotique (aussi équivalent à x/log x); le terme constant et l'intégrale sont des O(1).

En revanche la somme (qui est un o(x)) contient des termes que Riemann qualifiaient lui-même de périodiques. Ce sont ces termes qui sont responsables de l'extrême irrégularité de la répartition des nombres premiers, et ils présentent un caractère "oscillant".

Désolé, c'est une réponse assez vague, mais le sujet est particulièrement compliqué (pour moi en tout cas).

Je finirai simplement avec le fait que l'exploration heuristique des nombres premiers est parfois trompeuse: Riemann pensait que pour tout x, mais Littlewood a montré que cette conjecture est archi-fausse, bien qu'elle soit vérifiée pour des nombres très grands (si mes souvenirs sont bons, la borne inf est astronomique).

Cordialement.