Serpent, renards et poules

[invitef9d756be]

C'est un problème surement classique mais je n'ai pa fait de math de puis longtemps.

on a des poules, des renards et des serpents dans une basse cour.
Chaque jour, et dans cet ordre,
Chaque serpent pique et tue un renard
Chaque poule mange un serpent
Chaque renard mange une poule.

Au bout de n itérations, il reste 1 renard.
On peut noter U0 la situation final ou U₀ est un vecteur (R₀, S₀, P₀) avec les nombre de renard, serpent et poules.
Uo = (1; 0; 0)

pour simplifier on remonte le temps avec les indices n de la période.
On a une relation de recurrence avec
R_n+1 = R_n + S_n+1
S_n+1 = S_n + P_n+1
P_n+1 = P_n + R_n

On arrive assez vite à U_n+1 = M U_n
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[invitef9d756be]

Où M est la matrice
2 1 1
1 1 0
1 1 1

c'est là que je coince car il faudrait diagonaliser cette matrice pour arriver à l'élever à la puissance N
car U_n = Mⁿ U₀

Le determinant de cette matrice n'a qu'une solution qui est solution de l'équation du 3eme degre
-x³ + 4x² - 3x + 1 = 0

x vaut environ 3,14789 mais peut importe sa valeur car avec une seule valeur propre comment diagonaliser et surtout elever à la puissance n cette matrice

Merci d'avance.

Pierre

[invitef9d756be]

Pour rappel, si une matrice n'a qu'une seule valeur propre, alors cette matrice n'est diagonalisable que si elle est non seulement diagonale mais aussi scalaire. En effet elle serait sinon semblable à une matrice scalaire et donc serait elle-même une matrice scalaire.

Raisonons par l'absurde et considérons alors une matrice M ayant m comme unique valeur propre.

Alors si M est diagonalisable, de valeur propre unique m, il existe une matrice P inversible telle que :

M = P^-1 x m x I x P = m x I x P^-1 x P = mI (où I est la matrice diagonale avec que des 1). M est donc diagonale.

Dans le pb initial des serpents, poules et renards, on cherche donc à elever à la puissance N une matrice non diagonalisable. Comment faire ?

Pierre

[invitef9d756be]

Aucune idée pour calculer la puissance d'une matrice non diagonalisable ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Il n'y a pas de matrice non trigonalisable. Il n'y a que des personnes qui ne travaillent pas dans .

Autrement dit (je passe sur les erreurs de terminologies) : le polynôme caractéristique de cette matrice a une racine réelle (que tu as trouvée) et deux racines complexes conjuguées. En travaillant dans , cette matrice est tout ce qu'il y a de plus diagonalisable. Ceci dit, si tu ne cherches pas la valeur exacte des itérées de cette matrice, mais simplement une approximation raisonnable (et, à vrai dire, très proche de la solution exacte) dans la plupart des cas, il suffit de connaître la valeur propre de plus grand module, en l'occurence la valeur propre réelle (voir par là). Mais c'est un peu coton à expliquer, 'faut voir si cela t'intéresse...

[invitef9d756be]

Oui cela m'interesse. J'ai dejà une bonne approximation avec une formule du type


vaut environ 0.61
vaut environ 3.14



J'aurai aimé avoir une valeur exacte. Je comprends que si je prends les deux valeurs imaginaires de l'équation du 3ème degré, je diagonalise la matrice.

Cela me revient. (Je n'ai pas fait de math pendant 20 ans) : un coup de main serait le bienvenu.

A+

Pierre

[invitea07f6506]

Je n'ai pas particulièrement envie de faire le calcul exact des itérées de la matrice (c'est possible, mais bon...). Mais voici une méthode approchée. Premièrement, je pose (afin de corriger une erreur dans votre premier message) :




Soient , et les valeurs propres de cette matrice, étant la valeur propre réelle. Soit l'espace propre lié à la valeur propre . Soit un vecteur de , et un entier. On peut décomposer en , et , où chaque appartient au sous-espace propre liée à la valeur propre .

Alors :



Il se trouve que est la valeur propre de plus grand module, et donc converge à vitesse exponentielle vers . Il reste à calculer . C'est le projeté de sur parallèlement à . Pour le calculer, on note un vecteur propre de pour la matrice , et un vecteur propre de pour la matrice transposée de . On normalise et de telle sorte que . Alors on a :



Il reste à trouver et , puis à calculer .

Une remarque pour finir : et sont de module strictement inférieur à 1. On a donc en fait :



et ce pour tout vecteur . Voilà !

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Sinon, parvenir à faire ça sans avoir pratiqué de maths pendant 20 ans... Bravo.

[invitef9d756be]

Tres clair. J'avais effectivement observé une convergence à l'infini qui petmettrait de s'affranchir des therme imaginaires.
C'est maintenant demontré.

Je comprends aussi que le calcul numerique n'amuse personne...

Pierre