N y aurait il pas une autre méthode ?

[sknbernoussi]

Bonjour,
l'énoncé d'un exo et le suivant
soit f une application de R dans R tq
i)
ii) f est bornée sur l'intervalle [-1,1]
1) démontrer que:
a)
b)
2) soit x un réel non nul
a) montrer qu'il existe un r de tq
b) montrer que f est lipschitzienne
3) déduire que f est linéaire.
Ma question est la suivante :
pour répondre a la troisieme question, j'ai déduis de 2)b) que f est continue, puis j'ai démontrer que f est linéaire en utilisant cette continuité et la densité de Q dans R
est ce qu'il n y aurait pas une autre méthode ?
Merci.
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[phys4]

soit f une application de R dans R tq
i)
ii) f est bornée sur l'intervalle [-1,1]
1) démontrer que:
a)
b)
2) soit x un réel non nul
a) montrer qu'il existe un r de tq
b) montrer que f est lipschitzienne
3) déduire que f est linéaire.
Ma question est la suivante :
pour répondre a la troisieme question, j'ai déduis de 2)b) que f est continue, puis j'ai démontrer que f est linéaire en utilisant cette continuité et la densité de Q dans R
est ce qu'il n y aurait pas une autre méthode ?
Merci.

Bonjour,
C'est un problème de base intéressant.
J'aurais eu la démarche suivante :
A l'aide de la définition en prenant y tendant vers 0, il est possible de monter que f est continue en zéro.
Puis d'en déduire que f est continue en tout point.

Ensuite la relation permet d'en déduire que f est linéaire.
Cela vous semble t-il correct ?

[sknbernoussi]

oui, donc il faut absolument prouver la continuité avant de passer à la linéarité

[phys4]

Sans la continuité nous pourrions prouver la linéarité pour les rationnels, mais pas pour les réels.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

A l'aide de la définition en prenant y tendant vers 0, il est possible de monter que f est continue en zéro.

Il existe des fonctions discontinues en 0 (et discontinues en tout point) telles que : pour tout couple de nombres réels.
Cette démarche ne peut pas aboutir. Il faut passer par la continuité de , ou un de ses succédanés : ici, c'est le caractère lipschitzien de .

pour répondre a la troisieme question, j'ai déduis de 2)b) que f est continue, puis j'ai démontrer que f est linéaire en utilisant cette continuité et la densité de Q dans R
est ce qu'il n y aurait pas une autre méthode ?

Il y a diverses méthode pour prouver, sous les hypothèses i et ii, que est linéaire.

Mais celle que tu proposes est la seule qui corresponde à l'énoncé.