Autour d'une fonction particulière

[invite2ec0a62b]

Bonsoir, l'énoncé d'un exo est le suivant
soit f une fonction de R dans R continue sur R telle que
1) On suppose que f(0)=f(1)=0. Montrer que f est nulle sur [0,1]
2)montrer que f est affine
on peut démontrer par récurrence forte que pr tout n de N , mais je ne sais pas si ca aboutira a qqch ...
pouvez vous me donner un indice..
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[Tiky]

Bonjour,

Tu es sur la bonne voie mais il faut généraliser ton idée. Tu peux procéder par dichotomie.
Soit . On va construire deux suites et telles que et .
Posons et
On définit nos deux suites par récurrence de la manière suivante :

Supposons qu'on dispose de et pour un certain rang n. On construit les termes suivants comme ceci :
Si , on pose et
Sinon si , on pose et

Je te laisse démontrer que ces deux suites conviennent et en utilisant la continuité de f, tu pourras conclure.

[Tiky]

Au passage l'hypothèse de continuité est superflue dans l'énoncé. On peut montrer que la fonction f est convexe sur [0, 1] et donc continue sur [0, 1].

[invite57a1e779]

On peut montrer que la fonction f est convexe sur [0, 1].

Vraiment ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Ah non ^^, il faut la continuité en fait pour le montrer, donc on tourne en rond. Toutes mes excuses.

[invite2ec0a62b]

pour le deuxième cas celui où avec et
on trouve que dc
je ne vois pas pq la suite tendera vers c

[inviteea028771]

Hum, j'ai du mal à voir comment tu peux obtenir que car or

Il n'y a pas à proprement parler d'expression de xn en fonction de n (mis à part de dire que c'est les premières décimales de c en base 2).

On a que xn tend vers c et yn tend vers c (puisque la distance entre xn et c est inférieure à 1/2^(n-1)), alors (xn+yn)/2 tend vers (c+c)/2 = c

[invite2ec0a62b]

on peut obtenir l'expression dex_n en fction de n vu qu'on a y_n=1 pour tout n, x_n sera alors une suite arithmético-géométrique ...

[invite2ec0a62b]

d'ailleurs pourquoi xn sera dans [0,1]

[Tiky]

Tu n'as pas compris comment sont construites les deux suites. Je te conseille de faire un dessin.
L'alternative pour construire le terme et se pose à chaque rang .
On n'a pas pour tout n, par exemple.

[Tiky]

d'ailleurs pourquoi xn sera dans [0,1]

On le démontre par récurrence.

[invite2ec0a62b]

donc, a partir d'un certain rang n on aura x_n+1=x_n

[Tiky]

donc, a partir d'un certain rang n on aura x_n+1=x_n

Il y a effectivement une erreur dans la construction de mes suites. Je commence par t'expliquer l'idée à la main.
On part du segment [0, 1]. Le point c, par hypothèse, est dans ce segment. On découpe le segment en deux ([0, 1/2] et [1/2, 1]).
Si le point c est dans le segment [0, 1/2], on réitère le processus sur ce segment (on le coupe en 2, on obtient donc deux nouveaux segments, [0, 1/4] et [1/4, 1/2]).
Sinon, on recommence sur l'autre segment, à savoir [1/2, 1]. On obtient donc les segments [1/2, 1/2+1/4] et [1/2+1/4, 1]

La suite et donnent les bornes du segment dans lequel se trouve c après n itérations comme ci-dessus. On a donc :
et .

Si , on pose et
Sinon si, on pose et .

[invite2ec0a62b]

ah la ca devient plus clair pour moi, je vous remercie