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Autour d'une fonction particulière



  1. #1
    sknbernoussi

    Autour d'une fonction particulière


    ------

    Bonsoir, l'énoncé d'un exo est le suivant
    soit f une fonction de R dans R continue sur R telle que
    1) On suppose que f(0)=f(1)=0. Montrer que f est nulle sur [0,1]
    2)montrer que f est affine
    on peut démontrer par récurrence forte que pr tout n de N , mais je ne sais pas si ca aboutira a qqch ...
    pouvez vous me donner un indice..

    -----

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  3. #2
    Tiky

    Re : Autour d'une fonction particulière

    Bonjour,

    Tu es sur la bonne voie mais il faut généraliser ton idée. Tu peux procéder par dichotomie.
    Soit . On va construire deux suites et telles que et .
    Posons et
    On définit nos deux suites par récurrence de la manière suivante :

    Supposons qu'on dispose de et pour un certain rang n. On construit les termes suivants comme ceci :
    Si , on pose et
    Sinon si , on pose et

    Je te laisse démontrer que ces deux suites conviennent et en utilisant la continuité de f, tu pourras conclure.
    Dernière modification par Tiky ; 05/11/2011 à 16h28.

  4. #3
    Tiky

    Re : Autour d'une fonction particulière

    Au passage l'hypothèse de continuité est superflue dans l'énoncé. On peut montrer que la fonction f est convexe sur [0, 1] et donc continue sur [0, 1].

  5. #4
    God's Breath

    Re : Autour d'une fonction particulière

    Citation Envoyé par Tiky Voir le message
    On peut montrer que la fonction f est convexe sur [0, 1].
    Vraiment ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Tiky

    Re : Autour d'une fonction particulière

    Ah non ^^, il faut la continuité en fait pour le montrer, donc on tourne en rond. Toutes mes excuses.

  8. #6
    sknbernoussi

    Unhappy Re : Autour d'une fonction particulière

    pour le deuxième cas celui où avec et
    on trouve que dc
    je ne vois pas pq la suite tendera vers c

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  10. #7
    Tryss

    Re : Autour d'une fonction particulière

    Hum, j'ai du mal à voir comment tu peux obtenir que car or

    Il n'y a pas à proprement parler d'expression de xn en fonction de n (mis à part de dire que c'est les premières décimales de c en base 2).

    On a que xn tend vers c et yn tend vers c (puisque la distance entre xn et c est inférieure à 1/2^(n-1)), alors (xn+yn)/2 tend vers (c+c)/2 = c

  11. #8
    sknbernoussi

    Re : Autour d'une fonction particulière

    on peut obtenir l'expression dexn en fction de n vu qu'on a yn=1 pour tout n, xn sera alors une suite arithmético-géométrique ...

  12. #9
    sknbernoussi

    Re : Autour d'une fonction particulière

    d'ailleurs pourquoi xn sera dans [0,1]

  13. #10
    Tiky

    Re : Autour d'une fonction particulière

    Tu n'as pas compris comment sont construites les deux suites. Je te conseille de faire un dessin.
    L'alternative pour construire le terme et se pose à chaque rang .
    On n'a pas pour tout n, par exemple.

  14. #11
    Tiky

    Re : Autour d'une fonction particulière

    Citation Envoyé par sknbernoussi Voir le message
    d'ailleurs pourquoi xn sera dans [0,1]
    On le démontre par récurrence.

  15. #12
    sknbernoussi

    Re : Autour d'une fonction particulière

    donc, a partir d'un certain rang n on aura xn+1=xn

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  17. #13
    Tiky

    Re : Autour d'une fonction particulière

    Citation Envoyé par sknbernoussi Voir le message
    donc, a partir d'un certain rang n on aura xn+1=xn
    Il y a effectivement une erreur dans la construction de mes suites. Je commence par t'expliquer l'idée à la main.
    On part du segment [0, 1]. Le point c, par hypothèse, est dans ce segment. On découpe le segment en deux ([0, 1/2] et [1/2, 1]).
    Si le point c est dans le segment [0, 1/2], on réitère le processus sur ce segment (on le coupe en 2, on obtient donc deux nouveaux segments, [0, 1/4] et [1/4, 1/2]).
    Sinon, on recommence sur l'autre segment, à savoir [1/2, 1]. On obtient donc les segments [1/2, 1/2+1/4] et [1/2+1/4, 1]

    La suite et donnent les bornes du segment dans lequel se trouve c après n itérations comme ci-dessus. On a donc :
    et .

    Si , on pose et
    Sinon si, on pose et .

  18. #14
    sknbernoussi

    Re : Autour d'une fonction particulière

    ah la ca devient plus clair pour moi, je vous remercie

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