Resolution d'une équation particulière

[invite57e73c4e]

Bonjour,
Aujourd'hui, en exam de microéconomie j'ai été confronté à un problème. L'énoncé disait, en gros:
On a q^a+q^b=C(q)
Avec q la production, a, b réels positifs et C(q) le coût total. On sait que z₁est l'unique input, et que son prix w₁=1
On demande de déterminer la fonction de production associé à ce coût.
On pose donc:
q^a+q^b=z₁
Jusque là tout va très bien, mais c'est donc dans la résolution de cette équation que je galère. On cherche q en fonction de z₁
Merci de votre aide, et bonne soirée.
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[invite63e767fa]

q^a+q^b=z
a, b et z donnés. L'inconnue est q.
- Pour certaines valeurs particulières de a et b, l'équation peut se ramener à une équation polynomiale de degré (entier positif) inférieur à 5. Dans ces cas, on sait résoudre analytiquement l'équation, c'est à dire exprimer q avec un nombre fini de fonctions élémentaires.
par exemple, si a=2/3 et b=1/6, en posant q=x^6 l'équation se ramène à
x^4+x-z=0 que l'on sait résoudre (méthode de Ferrari)
- Dans le cas général (a et b quelconques), les solutions ne s'expriment pas avec un nombre fini de fonctions élémentaires. Dans certains cas, des fonctions spéciales peuvent faire l'affaire, mais c'est compliqué et ce n'est pas encore le cas général. En pratique, on utilise soit des formules approximatives, soit encore plus souvent des méthodes de résolution par calcul numérique.

[invite57e73c4e]

Dans mon exemple, on a a=1/2 et b=3/2
Donc en suivant votre réponse, ça nous donne:
On pose q^1/2=x
On a donc:
x+x³=z₁
On pose x=u+v
On obtient:
x=u+v
x=(z₁/2+(z₁²/4-1/27)^1/2)^1/3+(z₁/2-(z₁²/4-1/27)^1/2)^1/3
D'où q=((z₁/2+(z₁²/4-1/27)^1/2)^1/3+(z₁/2-(z₁²/4-1/27)^1/2)^1/3)²

Ai-je juste? Je ne maîtrise pas vraiment la résolution d'équation du 3ème degré, j'ai essayé en regardant le méthode de Ferrari mais bon..

[invite63e767fa]

La méthode de Ferrari est pour les équations du 4ième degré. Donc elle ne vous sert à rien.
Pour le 3ième degré, c'est la méthode dite "de Cardan".
Votre résultat semblr presque correct. Je pense que la puissance du second terme devrait être -1/3 au lieu de 1/3.
Il manque peut-être un coefficient devant le second terme. A vérifier...

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